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Exercícios Resolvidos de Sistemas de primeira ordem

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Enunciado

Um manômetro leva 45 segundos para indicar 95 % da resposta de um degrau unitário. Calcule a contanste de tempo do manômetro sabendo que o mesmo se comporta como uma função de primeira ordem.

Passo 1

Como o nosso manômetro tem comportamento de primeira ordem:

Y s X s = K τ s + 1

Nesse caso, a variável Y ( s ) seria a pressão indicada pelo manômetro, e X ( s ) , a pressão real. Como foi feita uma perturbação do tipo degrau unitário:

Y ( s ) = K τ s + 1 1 s

Expandindo em frações parciais e fazendo a inversa:

y t = K 1 - e - t τ

Passo 2

O exercício nos pede a constante de tempo sabendo que em 45 segundos, atingiu-se 95 % da resposta total. A resposta total é igual a K , para conferir isso basta fazer o limite de t indo a infinito na nossa expressão de y ( t ) .

Sendo assim:

0,95 K = K   1 - e - 45 τ

1 - e - 45 τ = 0,95

e - 45 τ = 0,05

45 τ = 3

τ = 15   s e g

Resposta

τ = 15   s e g