Responde Aí

Exercícios Resolvidos de Sistemas de primeira ordem

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Enunciado

Obtenha a resposta de saída, c ( t ) , para cada um dos sistemas mostrados abaixo. Além disso, obtenha a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de acomodação para uma faixa menor que 1 % da resposta final para cada caso.

Passo 1

Esse é aquele tipo clássico de questão onde a gente tem uma função de transferência e precisamos compará-la com a função de transferência padrão para encontrar nossos parâmetros.

A função de transferência padrão de primeira ordem é assim:

Y s X s = K τ s + 1

Precisamos então colocar a nossa função de transferência nessa forma. Para isso, o termo independente de s no denominador precisa ser 1. Então dividimos nossa função de transferência em cima e embaixo por ele. Para o item (a):

C s = 1 1 5 s + 1 . 1 s

Passo 2

Agora já podemos fazer a comparação. No item (a):

K = 1

τ = 1 5   s

Agora que temos nossa constante de tempo, τ , podemos calcular o tempo de subida, T r , e o tempo de acomodação, T s .

T r = 2,2 τ = 2,2 5 = 0,44   s

T s = 5 τ = 5 5 = 1   s

Passo 3

Para encontrar a resposta c ( t ) devemos calcular a transformada de Laplace inversa de

C s = 1 1 5 s + 1 . 1 s

Porém, a gente já tem um modelinho pronto pra funções de primeira ordem com entrada degrau:

y t = K A 1 - e - t τ

Então, só precisamos substituir os valores de ganho, constante de tempo e de amplitude do degrau na equação:

K = 1

A = 1 τ = 1 5

c t = 1 - e - 5 t

Passo 4

Fazendo o mesmo para o item (b)

C s = 1 1 20 s + 1 . 1 s

Comparando com a equação padrão:

K = 1

τ = 1 20   s

Passo 5

Os tempos de subida e acomodação serão:

T r = 2,2 τ = 2,2 20 = 0,11   s

T s = 5 τ = 5 20 = 0,25   s

E a resposta c ( t ) :

c t = 1 - e - 20 t