Exercícios Resolvidos de Sistemas de primeira ordem

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Enunciado

Um processo apresenta uma função de transferência de 1ª ordem entre sua saída Y s e sua entrada U ( s ) , expressas em variáveis desvio. Admitindo-se que uma perturbação do tipo degrau unitário foi aplicada em U ( s ) , em t = 0 a constante de tempo τ pode ser obtida pelo intervalo de tempo decorrido entre t = 0 e um valor definido de tempo posterior. Esse tempo posterior corresponde ao momento para o qual a saída Y ( t ) sofreu que porcentagem da variação total?

Passo 1

Vamos analisar tudo que o enunciado nos fala e tentar relacionar com o que já sabemos.

A primeira coisa que ele nos diz, é que a função de transferência entre Y ( s ) e U ( s ) é uma função de transferência de primeira ordem. Portanto:

Y s U s = K τ s + 1

Além disso, tambémdiz que a foi aplicado uma variação degrau unitário em U ( s ) . Então:

Y s = K τ s + 1 1 s  

Passo 2

Se expandirmos essa expressão em frações parciais, e aplicarmos a transformada inversa, termos:

y t = K 1 - e - t τ

Repare que se t for muito grande, y t = K e essa será a variação máxima que a variável de saída sofrerá.

Passo 3

O exercício nos pergunta qual será a porcentagem da variação máxima que a variável terá sofrido quando t = τ . Sendo assim:

y t = K 1 - e - τ τ

y t = K 1 - e - 1

y t = K 1 - 0,37

y t = 0,63 K

Sendo assim, a contante de tempo pode ser obtida através do intervalo de tempo entre t = 0 e o ponto em que a resposta tenho sofrido uma variação de 63 % da variação máxima.

Resposta

63 % da variação máxima