Exercícios Resolvidos de Spline Cúbica Interpolante

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 161, exercício 6

As tabelas do exercício 4 foram geradas usando as funções abaixo. Use as splines cúbicas construídas no exercício 4 para aproximar f x e f ' x no x dado. Calcule o erro absoluto.

a f x = e 2 x ; aproxime f 0.43 e f ' 0.43 .

b f x = x 4 - x 3 + x 2 - x + 1 ; aproxime f 0 e f ' 0 .

c f x = x 2 cos ⁡ x - 3 x ; aproxime f 0.18 e f ' 0.18 .

d f x = ln ⁡ e x + 2 ; aproxime f 0.25 e f ' 0.25

Passo 1

a Do exercício anterior temos que:

S 3 x = 1 + 3.43656 x ,   x ∈ 0,0.5

Aproximando no ponto desejado temos:

S 3 0.43 = 2.47772

S 3 ' 0.43 = 3.43656

O valor exato da função é:

f 0.43 = e 2 × 0.43 = 2.36316

f ' x = 2 e 2 x

f ' 0.43 = 2 e 2 × 0.43 = 4.72632

Calculando o erro:

E 0.43 = S 3 0.43 - f 0.43 = 0.11456

E ' 0.43 = S 3 ' 0.43 - f ' 0.43 = 1.28976

Deu um erro bastante grande né? Provavelmente porque nós aproximamos e 2 x por uma reta haha. Isso sempre vai acontecer quando tivermos apenas dois pontos, a spline cúbica nos dará uma reta perdendo grande parte da sua acurácia.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Do exercício anterior temos que:

S 3 x = 1.06641 - 1.0625 x ,   x ∈ - 0.25,0.25

Aproximando no ponto desejado temos:

S 3 0 = 1.06641

S 3 ' 0 = - 1.0625

O valor exato da função é:

f 0 = 1

f ' 0 = - 1

Calculando o erro:

E 0 = S 3 0 - f 0 = 0.06641

E ' 0 = S 3 ' 0 - f ' 0 = 0.0625

Passo 3

c Pegando nosso resultado do exercício anterior novamente:

S 3 x = s 1 x = 4.38125 x - 0.2 3 + 1.3144 x - 0.2 2 - 2.6198 x - 0.2 - 0.5608 ,       x ∈ 0.1,0.2 s 2 x = - 4.38125 x - 0.3 3 - 2.4884 x - 0.3 - 0.814 ,       x ∈ 0.2,0.3

Repare que o ponto desejado aqui é o 0.18 , então usaremos s 1 x :

S 3 0.18 = s 1 0.18 = - 0.507913

s 1 ' x = 13.1437 x - 0.2 2 + 2.6288 x - 0.2 - 2.6198

S 3 ' 0.18 = s 1 ' 0.18 = - 2.66712

O valor exato da função é:

f 0.18 = 0.18 2 cos ⁡ 0.18 - 3 0.18 = - 0.508123

f ' x = 2 x cos ⁡ x - x 2 sin ⁡ x - 3

f ' 0 . 18 = - 2.65162

Calculando o erro:

E 0.18 = S 3 0 . 18 - f 0.18 = 0.00021

E ' 0.18 = S 3 ' 0.18 - f ' 0.18 = 0.0155

Passo 4

d Última gente! Do último exercício temos que:

S 3 x = s 1 x = 0.06565 x + 0.5 3 + 0.098476 x + 0.5 2 + 0.22488 x + 0.5 + 0.95802 ,       x ∈ - 1 , - 0.5 s 2 x = 0.02828 x 3 + 0.140897 x 2 + 0.34456 x + 1.09861 ,       x ∈ - 0.5,0 s 3 x = - 0.09393 x - 0.5 3 + 0.41501 x - 0.5 + 1.29438 ,       x ∈ 0,0.5

Lembra desse monstro? Haha. Como ele quer uma estimativa para a função em x = 0.25 temos que usar s 3 x !

S 3 0.25 = s 3 0.25 = 1.1921

s 3 ' x = - 0.28179 x - 0 . 5 2 + 0.41501

S 3 ' 0.25 = s 3 ' 0.25 = 0.397398

E o valor exato da função é:

f 0.25 = ln ⁡ e 0.25 + 2 = 1.18907

f ' x = e x e x + 2

f ' 0.25 = 0.390991

Calculando o erro (finalmente!):

E 0.25 = S 3 0.25 - f 0.25 = 0.0 0303

E ' 0 . 25 = S 3 ' 0.25 - f ' 0.25 = 0.006407

Resposta

a E 0.43 = 0.11456

E ' 0.43 = 1.28976

b E 0 = S 3 0 - f 0 = 0.06641

E ' 0 = S 3 ' 0 - f ' 0 = 0.0625

c E 0.18 = S 3 0.18 - f 0.18 = 0.00021

E ' 0.18 = S 3 ' 0.18 - f ' 0.18 = 0.0155

d E 0.25 = S 3 0.25 - f 0.25 = 0.00303

E ' 0.25 = S 3 ' 0.25 - f ' 0.25 = 0.006407

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