Exercícios Resolvidos de Teorema de Transporte de Reynolds e Princípio da Continuidade

Fox, R. W., Introdução à mecânica dos fluidos, 7ª ed

Água escoa em regime permanente através de um tubo de comprimento L e raio R = 75   m m . Calcule a velocidade de entrada uniforme, U , se a distribuição de velocidade através da saída é dada por u = u m á x 1 - r 2 R 2 e u m á x = 3   m / s

Passo 1

O primeiro passo para resolver qualquer problema de escoamento é listar as características do escoamento que você conhece.

Nesse caso, o nosso escoamento é permanente então:

d ρ d t = 0

E incompressível já que o fluido é água. Ser incompressível significa que os fluxos de entrada e de saída de água devem ser iguais.

Assim, pelo que vimos na teoria, se há conservação de massa a equação que usamos é:

S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a = S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Isso para um volume de controle qualquer. Então vamos escolher o nosso de forma a nos ajudar, isso quer dizer com forma e posição fixa. E que as superfícies que atravessam o escoamento façam 90 ° com o escoamento.

Assim:

E a equação fica sendo:

S C ρ . v d A s a i d a = S C ρ . v d A e n t r a d a

Nesse caso v = u , sendo v e n t r a d a = U e v s a í d a = u m á x 1 - r 2 R 2

S C ρ . u m á x 1 - r 2 R 2 d A s a i d a = S C ρ . U . d A e n t r a d a

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Passo 2

Hora de atacar!

Vamos começar colocando as constantes para fora da integral:

ρ . u m á x S C 1 - r 2 R 2 d A s a i d a = ρ . U S C d A e n t r a d a

Então podemos cortar aquele ρ que apareceu dos dois lados:

u m á x S C 1 - r 2 R 2 d A s a i d a = U S C d A e n t r a d a

Vamos resolver primeiro o lado direito, a integral de d A é só A mesmo:

u m á x S C 1 - r 2 R 2 d A s a i d a = U . A e n t r a d a

Passando o u m á x para o outro lado e substituindo a área:

S C 1 - r 2 R 2 d A s a i d a = U u m á x . A e n t r a d a

S C 1 - r 2 R 2 d A s a i d a = U u m á x . π . 0,075 2

Agora, vamos usar uma propriedade das integrais, que a soma de integrais é igual a integral da soma:

S C 1   d A s a i d a - S C r 2 R 2 d A s a i d a = U u m á x . π . 0,075 2

Resolver a primeira integral é tranquilo:

A s a í d a - S C r 2 R 2 d A s a i d a = U u m á x . π . 0,075 2

π . 0,075 2 - U u m á x . π . 0,075 2 = S C r 2 R 2 d A s a i d a

Agora, só falta resolvermos a integral difícil, vou até deixar pra outro passo.

Passo 3

Como r e A não são independentes, não podemos simplesmente tirar o A   da integral como fizemos antes. A área é a área de um círculo, assim podemos abrir d A em:

A = π . r 2

d A = 2 π . r . d r

Assim, nossa integral vai virar uma integral de 0   a R .

0 R r 2 R 2 . 2 π . r . d r

2 π R 2 0 R r 3 . d r

Agora essa integral ficou mais simples, já que temos apenas um polinômio:

2 π R 2 0 R r 3 . d r = 2 π R 2 . r 4 4 0 R

Substituindo os limites, temos que a nossa integral é igual a:

2 π R 2 R 4 4 - 0 = π . R 2 2

Passo 4

Voltando agora a nossa equação temos:

π . 0,075 2 - U u m á x . π . 0,075 2 = π . R 2 2

Como R é 0,075   m então podemos cortar 0,075 2 e π , chegando assim:

1 - U u m á x = 1 2

U u m á x = 0,5   m / s

U = 1 2 u m á x

Assim, chegamos no resultado final, bastando substituir o valor de u m á x

U = 1 2 . 3 = 1,5   m / s

Resposta

U = 1,5   m / s

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