Exercícios Resolvidos de Teorema de Transporte de Reynolds e Princípio da Continuidade

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Enunciado

Uma fina camada de líquido escorrendo sobre um plano inclinado, como na figura abaixo, terá um perfil de velocidades laminar, u < U 0 ( 2 y / h   –   y 2 / h 2 ) , em que U 0 é a velocidade na superfície. Se o plano tem largura b normal ao papel, determine a vazão volumétrica do filme. Suponha que h = 12,7   m m e que a vazão para cada metro de largura do canal seja de 15,52   L / m i n . Calcule U 0 em m / s .

Passo 1

Essa questão é para treinarmos a questão de escolher o volume de controle.

Qual dos dois você acredita ser o melhor? O vermelho ou o azul?

O vermelho está certinho no eixo x y , sem nenhuma inclinação, porém ele engloba só o liquido e ainda, o liquido escoa pelo volume de controle fazendo um ângulo θ .

Agora o volume de controle azul, esse está inclinado igual o escoamento, sendo assim engloba apenas o fluido escoando e esse fluido ainda escoa fazendo 90 ° com a superfície de controle o que já vimos que é muito bom.

Não tem problema inclinarmos o volume de controle, pelo contrario, isso ajuda muito quando o escoamento está inclinado.

Então vamos usar esse volume de controle azul.

Passo 2

Agora vamos calcular o que o enunciado pediu que foi a vazão.

Q = ∫ 0 h u . d A

Onde u < U 0 ( 2 y / h   –   y 2 / h 2 ) e d A = b . d y

Q = ∫ 0 h U 0 2 y h – y 2 h 2 . b . d y

Colocando as constantes para fora da integral.

Q = U 0 . b h ∫ 0 h 2 y – y 2 h . d y

Agora temos duas integrais de polinômio para fazer,

Q = U 0 . b h . y 2 - y 3 3 h

Substituindo agora os limites de integração, temos:

Q = U 0 . b h h 2 - h 3 3 h

Q = U 0 . b h h 2 - h 2 3

Q = U 0 . b . h 2 h 1 - 1 3

Q = 2 3 U 0 . b . h

Passo 3

Mas o que queremos é U o , como temos a vazão Q = 15,52   L / m i n podemos substituir na equação da vazão que encontramos. Porém essa unidade de vazão está escrota. Vamos passar para m 3 .

Sabemos que 1   L = 10 - 3   m 3 e 1 min ⁡ = 60   s .

Assim, temos:

Q = 15,52 = 15,52.10 - 3 60 L / m i n = 0,00026   m 3 / s

Agora, podemos substituir na equação que encontramos:

0,00026 = 2 3 . U 0 . 1.0,0127

U 0 = 0,03   m / s

Resposta

U 0 = 0,03   m / s

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