Exercícios Resolvidos de Teorema de Transporte de Reynolds e Princípio da Continuidade

Elaboração própria.

Dado o escoamento de um fluido em um certo volume de controle, encontre a equação do Princípio da Continuidade considerando (a) escoamento permanente (b) escoamento permanente e fluido incompressível.

Passo 1

Esse exercício quer achar a equação da conservação da massa (Princípio da Continuidade) para dois casos que vamos usar muuuito daqui pra frente! Ou seja, vamos usar o resultado desse exercício toda hora. :D

Podemos usar a equação mais geral do princípio da continuidade para começar:

d d t m s i s t e m a = d d t m V C + ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Na letra a do nosso exercício, o escoamento é só permanente. Isso significa que as propriedades não variam com o tempo. Em matematiquês, permanente quer dizer que as derivadas em relação ao tempo são zero, Logo:

d d t m s i s t e m a = 0  

d d t m V C = 0

Então, a equação do princípio da continuidade fica assim:

∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a = ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Como não temos mais informações para simplificar, essa já é resposta da letra a.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na letra b, além do escoamento ser permanente (e com isso já podemos usar a última expressão que achamos), o fluido é incompressível.

∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a = ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Fluido incompressível quer dizer que a massa específica é constante! Se é constante, ela não varia e pode sair da integral:

ρ ∫ S C v r . c o s θ   d A s a i d a = ρ ∫ S C v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Como se trata do mesmo fluido que está entrando e saindo, podemos cortar ρ

∫ S C v r . c o s θ   d A s a i d a = ∫ S C v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Como não temos mais informações para simplificar, essa é a resposta da letra b 😉

Nos próximos exercícios, vamos aplicar essa equação!

Resposta

a) ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a = ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

b) ∫ S C v r . c o s θ   d A s a i d a = ∫ S C v r . c o s θ   d A e n t r a d a

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