Enunciado

Considere um tanque de água cilíndrico com área da base igual a a e com um orifício de área b no fundo, como mostra a figura abaixo. Se a velocidade da água através do orifício é conhecida e igual a v = 2 g h e a altura inicial da água no tanque for h 0 , determine a altura da água como uma função do tempo h ( t ) .

Passo 1

Vamos primeiro escolher o volume de controle. Nosso volume de controle será o tanque cilíndrico. Assim, podemos montar a equação para massa desse escoamento.

d d t m s i s t e m a = d d t ∫ V C ρ d V + ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Como há conservação de massa então o primeiro termo é zero. E como não há entrada de fluido então o fluxo de entrada também é zero. Assim, só resta:

d d t ∫ V C ρ d V + ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a = 0

d d t ∫ V C ρ d V = - ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a

Como escolhemos um volume de controle fixo e com superfície de saída perpendicular ao escoamento, nosso ângulo θ será 0 , afinal, esse é o ângulo entre o escoamento e o vetor normal da superfície (nesse caso, ambos apontam para baixo). Usamos então que:

c o s θ = 1

E simplificamos para:

d d t ∫ V C ρ d V = - ∫ S C ρ . v .   d A s a i d a

A velocidade foi dada e podemos considerar a densidade constante, então temos:

d d t ρ ∫ V C d V = - ρ ∫ S C 2 g h .   d A s a i d a

Vamos resolver as integrais. A primeira é simples é o próprio volume. E a segunda como a integral é em relação a área de saída, então a velocidade pode sair da integral e assim o resultado seria a área de saída. Resultando em:

d d t ρ a . h = - ρ 2 g h . b

Colocando o que é constante para fora da derivada temos:

ρ a . d h d t = - ρ 2 g h . b  

Isolando os temos que tem h de um lado, temos:

d h h =   - b a . 2 g . d t

Integrando dos dois lados temos:

∫ h 0 h t d h h = ∫ 0 t - b a 2 g d t

2 h = - b a 2 g . t

Agora substituindo os limites das integrais temos:

h t - h 0 = - b 2 a 2 g . ( t - 0 )

h t = h 0 - b 2 a 2 g . t

Elevando os dois lados ao quadrado temos:

h t = h 0 - b a 2 h 0 g . t + 1 2 b a 2 g t 2

Resposta

h t = h 0 - b a 2 h 0 g . t + 1 2 b a 2 g t 2

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