Enunciado

O tanque aberto da figura abaixo contém água a 20   ° C e está sendo enchido através da seção 1 . Considere o escoamento incompressível. Primeiro, deduza uma expressão analítica para a taxa de variação do nível d’água, d h / d t , em termos das vazões ( Q 1 ,   Q 2 ,   Q 3 ) e do diâmetro do tanque d , arbitrários. Em seguida, se o nível h d’água for constante, determine a velocidade na saída, V 2 para os dados V 1 = 3   m / s e Q 3 =   0,01   m 3 / s .

Passo 1

Queremos saber a variação de altura do fluido dado a entrada e saída de fluidos. Para isso vamos analisar a massa do sistema, sabendo que haverá uma conservação de massa, assim se o que entra não é igual ao que sai, essa massa sobrando deve ocupar algum espaço. E será isso que fará h varia.

Então vamos montar a equação:

d d t m s i s t e m a = d d t ∫ V C ρ d V + ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Como a massa do sistema vai se conservar então:

d d t m s i s t e m a = 0

Porém a massa do volume de controle irá variar se o fluxo de entrada for diferente do fluxo de saída. Assim, temos:

d d t ∫ V C ρ d V + ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a = 0

Isso era para um volume de controle qualquer, mas agora, vamos escolher nosso volume de controle de forma a nos ajudar.

Ele será fixo, tanto na forma quanto na posição. Assim, v r vira v , e poderemos escrever como vazão o termo: Q = ∫ v . d A .

Nosso volume de controle é um paralelepípedo, que terá três superfícies onde haverá fluxo de fluido. As superfícies são as partes que cortam a região 1,2   e   3 .

Vamos reescrever a equação agora colocando em função das vazões:

d d t ∫ V C ρ d V + ρ Q s a í d a - ρ Q e n t r a d a = 0

Podemos colocar a densidade para fora da integral, e a integral do volume de controle será o volume do paralelepípedo, que é V = π d 2 4 . h

d d t ρ π d 2 4 . h = ρ . Q e n t r a d a - Q s a í d a  

Como só a altura irá variar, então temos:

ρ π d 2 4 . d h d t = ρ . Q e n t r a d a - Q s a í d a

Cortando a densidade dos dois lados e vendo que o enunciado falou que Q 1 e Q 3 são entradas de fluido e Q 2 é saída, temos:

d h d t = 4 π d 2 . Q 1 + Q 3 - Q 2

Chegamos na primeira resposta.

Passo 2

Agora o segundo item quer saber a velocidade v 2 se h é constante. Assim, d h d t = 0 .

Para que a igualdade seja mantida, temos que:

d h d t = 4 π d 2 . Q 1 + Q 3 - Q 2 = 0

Q 1 + Q 3 - Q 2 = 0

Q 1 + Q 3 = Q 2

Lembrando que Q = v . A

Assim,

3 . π ( 0,05 ) 2 4 + 0,01 = v 2 . π ( 0,07 ) 2 4

0,01 589 = v 2 . π ( 0,07 ) 2 4

v 2 = 4,1 3   m / s

Resposta

a   d h d t = 4 π d 2 . Q 1 + Q 3 - Q 2

b   v 2 = 4,13   m / s

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