Gás perfeito

Teoria Completa

Equação do gás perfeito

O que é mais fácil: prever o movimento causado pela colisão entre várias bolas de sinuca ou prever o movimento da colisão entre apenas duas bolas sobre a mesa? Com certeza a segunda opção é mais simples, não é mesmo? Ou seja, quanto menor a quantidade de bolas sobre o espaço da mesa, mais simples serão as fórmulas que vão calcular o movimento das bolas!

A mesma lógica utilizada para as bolas de sinuca pode ser usada para moléculas de vapor: quanto menor a quantidade de moléculas em um volume, mais simples será a fórmula que relaciona as propriedades da substância. Em outras palavras, quanto mais superaquecido estiver o vapor e maior seu volume específico, mais tranquila será a cara da sua equação!

Quando uma substância está muito quente e à baixa pressão, seu volume específico fica maior. Nessas condições, o vapor está muito superaquecido e longe da região de vaporização. Chamamos esse vapor de gás perfeito. Existem poucas moléculas no espaço ocupado pelo gás perfeito. Por isso, a equação que retrata o seu comportamento é mais simples.

P ⋅ V = n ⋅ R - ⋅ T

Explicação de cada termo da equação de gás perfeito

A explicação de cada um desses termos e suas unidades de medida estão abaixo:

  • P é a pressão exercida sobre o gás. Ela é medida em pascal P a , quando está em unidade do Sistema Internacional (S.I.);
  • V é o volume ocupado pelo gás perfeito. Ele é medido em metro cúbico m 3 , quando usamos a unidade do Sistema Internacional (S.I.);
  • n é o número de k m o l s de gás;
  • R - é a constante universal dos gases. Não importa qual substância estamos estudando, essa constante sempre terá o mesmo valor! Sua unidade em S.I. é J k m o l ⋅ K ou N ⋅ m k m o l ⋅ K ;
  • T é a temperatura do gás. Atenção! Essa temperatura deve sempre estar em escala absoluta. Ou seja, sua unidade em S.I. só pode ser kelvin K .

O valor da constante universal dos gases R - é:

R - = 8314,5   N ⋅ m k m o l ⋅ K = 8314,5   J k m o l ⋅ K

Em outras unidades essa constante vira:

R - = 8,3145   k N ⋅ m k m o l ⋅ K = 8,3145   K J k m o l ⋅ K

Existe uma fórmula para calcular o número de k m o l da substância n :

n = m M

sendo:

  • m , a massa do gás. A unidade da massa m em S.I. é k g ;
  • M , a massa molar do gás. A unidade da massa molar M em S.I. é k g k m o l .

Outras formas da equação de gás perfeito

A equação de gás perfeito pode aparecer de formas diferentes em textos e questões, mas pode relaxar, porque todas esses formatos diferentes serão explicados agora. Eles são a mesma fórmula reorganizada de diversos jeitos. Por exemplo, se substituirmos o número de k m o l s do gás n por sua expressão, temos:

P ⋅ V = m M ⋅ R - ⋅ T   ⟹   P ⋅ V = m ⋅ R - M ⋅ T   ⟹   P ⋅ V = m ⋅ R ⋅ T

onde R é a constante para um gás particular. Sua unidade em S.I. é N ⋅ m k g ⋅ K ou J k g ⋅ K .

Ou seja, essa constante R não vale para todos os gases. Temos que calcular um para cada gás através da sua fórmula.

R = R - M

Pela equação vemos que existe uma constante para cada gás, porque seu valor depende da massa molar M desse gás. Por exemplo, podemos calcular R para um gás formado por água.

R H 2 O   = R - M H 2 O = 8314,5 18,0 ≅ 461,9   J k g ⋅ K

Outro jeito de representar a equação de gás perfeito é dividindo o volume V pela massa do gás m .

P ⋅ V = m ⋅ R ⋅ T   ⟹   P ⋅ V m = R ⋅ T   ⟹   P ⋅ v = R ⋅ T

v é o volume específico do gás. Ele é medido em m 3 k g , segundo o Sistema Internacional (S.I.).

Uma última forma muito comum de mostrar a expressão do gás perfeito é dividindo o volume ocupado pelo gás V por sua quantidade de k m o l s n .

P ⋅ V = n ⋅ R - ⋅ T   ⟹   P ⋅ V n = R - ⋅ T   ⟹   P ⋅ v - = R - ⋅ T

v - é o volume específico molar do gás. Ele é medido em m 3 k m o l , segundo o Sistema Internacional (S.I.).

Pressão reduzida P r e temperatura reduzida T r

No início do tópico, foi falado que alta temperatura T e baixa pressão P aumentam o volume específico v do vapor. Também foi dito que esse volume específico maior era o responsável por simplificar a fórmula que relaciona P , V e T . Mas para quais valores de P e T o v fica grande o suficiente para considerarmos o vapor superaquecido como um gás perfeito?

Para saber se o vapor já pode ser considerado um gás perfeito, dividimos os valores de pressão e temperatura ( P e T ) pela pressão e temperatura críticas ( P c e T c ). Os resultados dessa divisão são chamados de pressão reduzida P r e temperatura reduzida T r e comparamos esses valores com alguns limites numéricos para saber quando usar a equação de gás perfeito.

P r = P P c

onde P c é a pressão crítica da substância. P e P c são medidas em pascal P a , de acordo com o S.I.

T r = T T c

sendo T c a temperatura crítica da substância. T e T c devem sempre ser medidas em escala absoluta. Ou seja, sua unidade em S.I. é o kelvin K .

Se a pressão reduzida P r for próxima de zero, o modelo e a equação de gás perfeito podem ser adotados com boa precisão, para qualquer temperatura.

P r ≅ 0   ⟹   P ⋅ V = n ⋅ R - ⋅ T

Se a temperatura reduzida T r for maior que dois, o modelo de gás perfeito pode ser adotado até pressões reduzidas P r iguais a quatro ou cinco.

T r > 2   e   P r < 4   ⟹   P ⋅ V = n ⋅ R - ⋅ T

Fora dos limites numéricos mostrados, o vapor não é considerado gás perfeito, mas sim um vapor superaquecido.

Fator de compressibilidade Z

A fórmula de gás perfeito pode ser aplicada em qualquer substâncias com pressões e temperaturas dentro dos limites mostrados. Mas por que os vapores de todas as substâncias tendem a se comportar da mesma forma conforme diminuímos sua pressão? Explicamos essa tendência, visualizando um gráfico de fator de compressibilidade Z por pressão P !

Z = P ⋅ v R ⋅ T

Essa variável vale 1 , quando a substância é considerada um gás perfeito. Comprovamos isso, reorganizando a equação:

P ⋅ v = R ⋅ T   ⟹   P ⋅ v R ⋅ T = 1   ⟹ Z = 1

E podemos ver através do gráfico de fator de compressibilidade Z versus pressão P , que conforme a pressão vai diminuindo, o valor de Z do vapor vai tendendo a um! Isso acontece para todos os vapores superaquecidos! Não importa qual a sua composição nem qual a sua temperatura!

A figura acima representa o comportamento do nitrogênio. Porém, ele é igual para o vapor de todas as substância. Dessa forma, vemos experimentalmente o motivo de podermos usar a equação de gás perfeito!

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Exercício Resolvido #1

Claus J. Borgnakke, Gordon J. Van Wylen, Richard E. Sonntag, Fundamentos da Termodinâmica, 8ª ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2013, pp. 80-2.67

Calcule as constantes de gás ideal do argônio e do hidrogênio utilizando os dados da tabela abaixo.

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Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o valor da constante de gás ideal de dois gases: argônio e hidrogênio. Mas o que é essa constante? É um valor R que aparece na fórmula de gás ideal!

P ⋅ V = m ⋅ R ⋅ T

onde:

  • P é a pressão absoluta do gás ideal em pascal P a ;
  • V é o volume que o gás ocupa em metro cúbico m 3 ;
  • m é a massa do gás em quilograma k g ;
  • T é a temperatura do gás em kelvin K ;
  • R é a constante do gás ideal. Ela tem um determinado valor para cada gás. Por exemplo, para o argônio ela tem um valor e para o nitrogênio tem outro. Sua unidade no sistema internacional é J k g ⋅ K .

Ou seja, ela é uma constante que relaciona os valores das propriedades termodinâmicas de um gás. Sua fórmula é:

R = R - M

onde:

  • R - é a constante universal dos gases. Ela tem o mesmo valor para todos os gases. Sua unidade é J k m o l ⋅ K no Sistema Internacional de Unidades (S.I.). Seu valor é:
  • R - = 8314,5   J k m o l ⋅ K

  • M é a massa molar. Sua unidade de acordo com o S.I. é k g k m o l .

O valor da massa molar M para o argônio, segundo a tabela dada é:

M A r = 39,948   k g k m o l

O valor da massa molar M para o hidrogênio, segundo a tabela dada é:

M H 2 = 2,016   k g k m o l

Agora é só substituir esses valores na fórmula da constante R para achar as respostas.

Passo 2

Vamos começar a calcular o valor da constante para o argônio R A r :

R A r = R - M A r = 8314,5 39,948 ≅ 208,13   J k g ⋅ K

Para o hidrogênio a fórmula fica:

R H 2 = R - M H 2 = 8314,5 2,016 ≅ 4124,26   J k g ⋅ K

Pronto! Encontramos o que o problema pedia.

Resposta

R A r = 208,13   J k g ⋅ K

R H 2 = 4124,26   J k g ⋅ K

Exercício Resolvido #2

Michael A. Boles e Yunus A. Çengel, Thermodynamics: An Engineering Approach, 8ª ed. New York: McGraw-Hill Education, 2015, pp. 156-3.72

Um balão esférico com diâmetro de 6   m é preenchido com hélio a 20   ° C e 200   k P a . Determine o número de moles e a massa de hélio no balão. A massa molar do hélio vale 4,003   k g / k m o l .

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Passo 1

O exercício pede o número de moles n do hélio e a massa desse gás presente no balão m . n pode ser calculado pela fórmula de gás ideal.

P ⋅ V = n ⋅ R - ⋅ T

Reorganizando essa fórmula, encontramos uma fórmula para n :

n = P ⋅ V R - ⋅ T

onde:

  • P é a pressão absoluta do gás ideal em pascal P a . O enunciado diz que a pressão absoluta do gás é:
  • P = 200   k P a = 200000   P a

  • V é o volume que o gás ocupa em metro cúbico m 3 . Essa informação está escondida no enunciado. Ele diz que o balão é esférico com diâmetro D de 6   m . Isso significa que o seu volume é o volume de uma esfera com esse diâmetro.
  • V = π ⋅ D 3 6 = π ⋅ 6 3 6 ≅ 113,10   m 3

  • n é o número de moles do gás em quilomol k m o l ;
  • T é a temperatura do gás em kelvin K . De acordo com enunciado, a temperatura do hélio vale:
  • T = 20   ° C = 293,15   K

  • R - é a constante universal dos gases. Ela tem o mesmo valor para todos os gases. Sua unidade é J k m o l ⋅ K no Sistema Internacional de Unidades (S.I.). Seu valor é:

R - = 8314,5   J k m o l ⋅ K

Com esses valores calculamos o número de moles do gás n , mas ainda falta saber sua massa m . A equação da massa é:

m = n ⋅ M

M é a massa molar. Sua unidade de acordo com o S.I. é k g k m o l . Para o hélio ela vale:

M H e = 4,003   k g k m o l

Agora é só começar a substituir os dados para chegar às respostas. Vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 2

A fórmula para calcular o número de moles é:

n = P ⋅ V R - ⋅ T = 200000 ⋅ 113,10 8314,5 ⋅ 293,15 ≅ 9,28   k m o l

Substituindo esse valor na expressão da massa encontramos:

m = n ⋅ M = 9,28 ⋅ 4,003 ≅ 37,15   k g

Acabou! Encontramos os dois resultados!

Resposta

n = 9,28   k m o l

m = 37,15   k g

Exercício Resolvido #3

Michael A. Boles e Yunus A. Çengel, Thermodynamics: An Engineering Approach, 8ª ed. New York: McGraw-Hill Education, 2015, pp. 156-3.68

Um tanque rígido de 400   L contém 5   k g de ar a 25   ° C . Determine a leitura de pressão no manômetro, se a pressão atmosférica é 97   k P a . Considere a massa molar do ar igual a 28,97   k g / k m o l .

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Passo 1

O exercício pede a pressão do ar lida em um manômetro. Cuidado! Essa pressão não é a pressão absoluta P que encontramos na fórmula de gás ideal. A pressão lida no manômetro é a diferença entre a pressão absoluta do gás P e a pressão atmosférica. Chamamos essa diferença de pressão manométrica P m a n .

P m a n = P - P a t m

onde P a t m é a pressão atmosférica. Ela é dada pelo enunciado.

P a t m = 97   k P a = 97000   P a

Mas então como podemos calcular a pressão absoluta? A partir da fórmula de gás ideal! É só reorganizar a equação:

P ⋅ V = n ⋅ R - ⋅ T ⟹ P = n ⋅ R - ⋅ T V

onde:

  • P é a pressão absoluta do gás ideal em pascal P a ;
  • V é o volume que o gás ocupa em metro cúbico m 3 . A questão dá esse valor em litro L :
  • V = 400   L = 0,4   m 3

  • n é o número de moles do gás em quilomol k m o l ;
  • T é a temperatura do gás em kelvin K . De acordo com enunciado, a temperatura do ar vale:
  • T = 25   ° C = 298,15   K

  • R - é a constante universal dos gases. Ela tem o mesmo valor para todos os gases. Sua unidade é J k m o l ⋅ K no Sistema Internacional de Unidades (S.I.). Seu valor é:

R - = 8314,5   J k m o l ⋅ K

Falta só o número de moles do gás n para saber sua pressão absoluta P . Ele é obtido através da massa m e da massa molar M a r mas ainda falta saber sua massa m . A equação da massa é:

n = m M a r

O valor de massa molar do ar foi fornecido pelo problema:

M H e = 28,97   k g k m o l

A massa do ar também foi dada:

m = 5   k g

Agora é só começar a substituir os dados para chegar às respostas. Vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 2

O número de moles do gás é:

n = m M a r = 5 28,97 ≅ 0,1726   k m o l

Logo, a pressão absoluta do gás vale:

P = 0,1726 ⋅ 8314,5 ⋅ 298,15 0,4 ≅ 1069674,77   P a

Enfim podemos calcular a pressão manométrica:

P m a n = P - P a t m = 1069674,77 - 97000 = 972674 , 77   P a

Resposta

P m a n = 972674 , 77   P a

Exercício Resolvido #4

Claus J. Borgnakke, Gordon J. Van Wylen, Richard E. Sonntag, Fundamentos da Termodinâmica, 8ª ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2013, pp. 80-2.65

Determine a mudança percentual relativa na pressão P se dobrarmos a temperatura absoluta de um gás ideal mantendo a massa e o volume constantes. Repita para o caso em que dobramos o valor de V e mantemos m e T constantes.

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Passo 1

O enunciado pede para que a gente calcule o valor de duas mudanças relativas.

A primeira é a mudança na pressão absoluta do gás P , quando dobramos a sua temperatura absoluta T , mantendo a massa do gás m e o seu volume V constantes. Ou seja a pressão anterior à variação da temperatura P a n t , T é:

P a n t , T = n ⋅ R - ⋅ T V

Atenção! Como a massa do gás m não varia, o número de moles n também permanece constante!

R - é uma constante de valor igual para todos os gases.

A pressão absoluta do gás depois da variação da temperatura P d p s , T fica:

P d p s , T = n ⋅ R - ⋅ 2 ⋅ T V

A variação relativa de pressão Δ P T é calculada a partir da seguinte fórmula:

Δ P T = P d p s , T - P a n t , T P a n t , T

A explicação da variação relativa de pressão absoluta com a variação do volume ocupado pelo gás é mostrada no próximo passo!

Passo 2

A pressão absoluta do gás antes de variar seu volume P a n t , V é:

P a n t , V = n ⋅ R - ⋅ T V

Depois que dobramos o valor do volume, sua fórmula vira:

P d p s , V = n ⋅ R - ⋅ T 2 ⋅ V

A variação relativa de pressão Δ P V é calculada a partir da seguinte fórmula:

Δ P V = P d p s , V - P a n t , V P a n t , V

No passo seguinte nós vamos substituir as fórmulas de pressão nas expressões de variação relativa de pressão.

Passo 3

A variação relativa de pressão, quando dobramos a temperatura absoluta é:

Δ P T = P d p s , T - P a n t , T P a n t , T = n ⋅ R - ⋅ 2 ⋅ T V - n ⋅ R - ⋅ T V n ⋅ R - ⋅ T V = n ⋅ R - ⋅ T V n ⋅ R - ⋅ T V = 1 = 100   %

Já para a variação de volume, a variação relativa de pressão fica:

Δ P V = P d p s , V - P a n t , V P a n t , V = n ⋅ R - ⋅ T 2 ⋅ V - n ⋅ R - ⋅ T V n ⋅ R - ⋅ T V = - 0,5 ⋅ n ⋅ R - ⋅ T V n ⋅ R - ⋅ T V = - 0,5 = - 50   %

Resposta

Δ P T = 100   %

Δ P V = - 50   %

Exercício Resolvido #5

Claus J. Borgnakke, Gordon J. Van Wylen, Richard E. Sonntag, Fundamentos da Termodinâmica, 8ª ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2013, pp. 81-2.73

Um copo é lavado com água a 45   ° C e é colocado de boca para baixo em uma mesa. O ar ambiente a 20   ° C