Gás perfeito

Teoria Completa

Equação do gás perfeito

O que é mais fácil: prever o movimento causado pela colisão entre várias bolas de sinuca ou prever o movimento da colisão entre apenas duas bolas sobre a mesa? Com certeza a segunda opção é mais simples, não é mesmo? Ou seja, quanto menor a quantidade de bolas sobre o espaço da mesa, mais simples serão as fórmulas que vão calcular o movimento das bolas!

A mesma lógica utilizada para as bolas de sinuca pode ser usada para moléculas de vapor: quanto menor a quantidade de moléculas em um volume, mais simples será a fórmula que relaciona as propriedades da substância. Em outras palavras, quanto mais superaquecido estiver o vapor e maior seu volume específico, mais tranquila será a cara da sua equação!

Quando uma substância está muito quente e à baixa pressão, seu volume específico fica maior. Nessas condições, o vapor está muito superaquecido e longe da região de vaporização. Chamamos esse vapor de gás perfeito. Existem poucas moléculas no espaço ocupado pelo gás perfeito. Por isso, a equação que retrata o seu comportamento é mais simples.

P ⋅ V = n ⋅ R - ⋅ T

Explicação de cada termo da equação de gás perfeito

A explicação de cada um desses termos e suas unidades de medida estão abaixo:

  • P é a pressão exercida sobre o gás. Ela é medida em pascal P a , quando está em unidade do Sistema Internacional (S.I.);
  • V é o volume ocupado pelo gás perfeito. Ele é medido em metro cúbico m 3 , quando usamos a unidade do Sistema Internacional (S.I.);
  • n é o número de k m o l s de gás;
  • R - é a constante universal dos gases. Não importa qual substância estamos estudando, essa constante sempre terá o mesmo valor! Sua unidade em S.I. é J k m o l ⋅ K ou N ⋅ m k m o l ⋅ K ;
  • T é a temperatura do gás. Atenção! Essa temperatura deve sempre estar em escala absoluta. Ou seja, sua unidade em S.I. só pode ser kelvin K .

O valor da constante universal dos gases R - é:

R - = 8314,5   N ⋅ m k m o l ⋅ K = 8314,5   J k m o l ⋅ K

Em outras unidades essa constante vira:

R - = 8,3145   k N ⋅ m k m o l ⋅ K = 8,3145   K J k m o l ⋅ K

Existe uma fórmula para calcular o número de k m o l da substância n :

n = m M

sendo:

  • m , a massa do gás. A unidade da massa m em S.I. é k g ;
  • M , a massa molar do gás. A unidade da massa molar M em S.I. é k g k m o l .

Outras formas da equação de gás perfeito

A equação de gás perfeito pode aparecer de formas diferentes em textos e questões, mas pode relaxar, porque todas esses formatos diferentes serão explicados agora. Eles são a mesma fórmula reorganizada de diversos jeitos. Por exemplo, se substituirmos o número de k m o l s do gás n por sua expressão, temos:

P ⋅ V = m M ⋅ R - ⋅ T   ⟹   P ⋅ V = m ⋅ R - M ⋅ T   ⟹   P ⋅ V = m ⋅ R ⋅ T

onde R é a constante para um gás particular. Sua unidade em S.I. é N ⋅ m k g ⋅ K ou J k g ⋅ K .

Ou seja, essa constante R não vale para todos os gases. Temos que calcular um para cada gás através da sua fórmula.

R = R - M

Pela equação vemos que existe uma constante para cada gás, porque seu valor depende da massa molar M desse gás. Por exemplo, podemos calcular R para um gás formado por água.

R H 2 O   = R - M H 2 O = 8314,5 18,0 ≅ 461,9   J k g ⋅ K

Outro jeito de representar a equação de gás perfeito é dividindo o volume V pela massa do gás m .

P ⋅ V = m ⋅ R ⋅ T   ⟹   P ⋅ V m = R ⋅ T   ⟹   P ⋅ v = R ⋅ T

v é o volume específico do gás. Ele é medido em m 3 k g , segundo o Sistema Internacional (S.I.).

Uma última forma muito comum de mostrar a expressão do gás perfeito é dividindo o volume ocupado pelo gás V por sua quantidade de k m o l s n .

P ⋅ V = n ⋅ R - ⋅ T   ⟹   P ⋅ V n = R - ⋅ T   ⟹   P ⋅ v - = R - ⋅ T

v - é o volume específico molar do gás. Ele é medido em m 3 k m o l , segundo o Sistema Internacional (S.I.).

Pressão reduzida P r e temperatura reduzida T r

No início do tópico, foi falado que alta temperatura T e baixa pressão P aumentam o volume específico v do vapor. Também foi dito que esse volume específico maior era o responsável por simplificar a fórmula que relaciona P , V e T . Mas para quais valores de P e T o v fica grande o suficiente para considerarmos o vapor superaquecido como um gás perfeito?

Para saber se o vapor já pode ser considerado um gás perfeito, dividimos os valores de pressão e temperatura ( P e T ) pela pressão e temperatura críticas ( P c e T c ). Os resultados dessa divisão são chamados de pressão reduzida P r e temperatura reduzida T r e comparamos esses valores com alguns limites numéricos para saber quando usar a equação de gás perfeito.

P r = P P c

onde P c é a pressão crítica da substância. P e P c são medidas em pascal P a , de acordo com o S.I.

T r = T T c

sendo T c a temperatura crítica da substância. T e T c devem sempre ser medidas em escala absoluta. Ou seja, sua unidade em S.I. é o kelvin K .

Se a pressão reduzida P r for próxima de zero, o modelo e a equação de gás perfeito podem ser adotados com boa precisão, para qualquer temperatura.

P r ≅ 0   ⟹   P ⋅ V = n ⋅ R - ⋅ T

Se a temperatura reduzida T r for maior que dois, o modelo de gás perfeito pode ser adotado até pressões reduzidas P r iguais a quatro ou cinco.

T r > 2   e   P r < 4   ⟹   P ⋅ V = n ⋅ R - ⋅ T

Fora dos limites numéricos mostrados, o vapor não é considerado gás perfeito, mas sim um vapor superaquecido.

Fator de compressibilidade Z

A fórmula de gás perfeito pode ser aplicada em qualquer substâncias com pressões e temperaturas dentro dos limites mostrados. Mas por que os vapores de todas as substâncias tendem a se comportar da mesma forma conforme diminuímos sua pressão? Explicamos essa tendência, visualizando um gráfico de fator de compressibilidade Z por pressão P !

Z = P ⋅ v R ⋅ T

Essa variável vale 1 , quando a substância é considerada um gás perfeito. Comprovamos isso, reorganizando a equação:

P ⋅ v = R ⋅ T   ⟹   P ⋅ v R ⋅ T = 1   ⟹ Z = 1

E podemos ver através do gráfico de fator de compressibilidade Z versus pressão P , que conforme a pressão vai diminuindo, o valor de Z do vapor vai tendendo a um! Isso acontece para todos os vapores superaquecidos! Não importa qual a sua composição nem qual a sua temperatura!

A figura acima representa o comportamento do nitrogênio. Porém, ele é igual para o vapor de todas as substância. Dessa forma, vemos experimentalmente o motivo de podermos usar a equação de gás perfeito!

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Exercício Resolvido #1

Claus J. Borgnakke, Gordon J. Van Wylen, Richard E. Sonntag, Fundamentos da Termodinâmica, 8ª ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2013, pp. 80-2.67

Calcule as constantes de gás ideal do argônio e do hidrogênio utilizando os dados da tabela abaixo.

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Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o valor da constante de gás ideal de dois gases: argônio e hidrogênio. Mas o que é essa constante? É um valor R que aparece na fórmula de gás ideal!

P ⋅ V = m ⋅ R ⋅ T

onde:

  • P é a pressão absoluta do gás ideal em pascal P a ;
  • V é o volume que o gás ocupa em metro cúbico m 3 ;
  • m é a massa do gás em quilograma k g ;
  • T é a temperatura do gás em kelvin K ;
  • R é a constante do gás ideal. Ela tem um determinado valor para cada gás. Por exemplo, para o argônio ela tem um valor e para o nitrogênio tem outro. Sua unidade no sistema internacional é J k g ⋅ K .

Ou seja, ela é uma constante que relaciona os valores das propriedades termodinâmicas de um gás. Sua fórmula é:

R = R - M

onde:

  • R - é a constante universal dos gases. Ela tem o mesmo valor para todos os gases. Sua unidade é J k m o l ⋅ K