Responde Aí

Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace e Função de Transferência

Ver Teoria

Enunciado

Ache a inversa de Laplace da seguinte equação:

Y s = 1 s s + 1 3

Passo 1

E aí pessoal, tudo tranquilo?

Nessa questão para resolvermos a inversa de Laplace precisamos abrir em frações parciais e nesse caso ocorrerá uma equação com raízes múltiplas.

Após achar os coeficientes de cada termo da expansão em frações parciais precisamos verificar qual seu equivalente no domínio do tempo e ai fim do jogo! 😊

Passo 2

Abrindo Y s em frações parciais teremos a seguinte relação:

Y s = 1 s s + 1 3 = A s + B s + 1 + C s + 1 2 + D s + 1 3

As raízes do polinômio no denominador são: s 1 = 0 e s 2 , s 3 , s 4 = - 1 .

Para resolvermos para os coeficientes A e D é a forma usual, mas para B e C é um jeito um pouco diferente.

Vamos começar por A e D que já conhecemos.

Logo, multiplicamos todos os termos pela respectiva equação do denominador do coeficiente que queremos descobrir o valor e depois fazemos o limite tender para a raiz dessa equação.

Para determinar A:

Multiplicamos todos os termos pela respectiva equação do seu denominador.

s Y s = s . 1 s s + 1 3 = s A s + s B s + 1 + s C s + 1 2 + s D s + 1 3

Agora fazemos o limite para o valor de sua raiz.

lim s → 0 ⁡ s Y ( s ) = lim s → 0 ⁡ 1 s + 1 3 = lim s → 0 ⁡ A + s B s + 1 + s C s + 1 2 + s D s + 1 3

Logo,

A = 1

Para determinar D:

Multiplicamos todos os termos pela respectiva equação do seu denominador.

s + 1 3 Y s = s + 1 3 . 1 s s + 1 3 = s + 1 3 A s + s + 1 3 B s + 1 + s + 1 3 C s + 1 2 + s + 1 3 D s + 1 3

Agora fazemos o limite para o valor de sua raiz.

lim s → - 1 ⁡ s + 1 3 Y ( s ) = lim s → - 1 ⁡ 1 s = lim s → - 1 ⁡ s + 1 3 A s + s + 1 3 B s + 1 + s + 1 3 C s + 1 2 + D

Portanto,

D = - 1

Passo 3

Agora, para acharmos os coeficientes B e C, fazemos a seguinte receita de bolo:

1) Pegamos a função s + 1 3 Y ( s ) e derivamos ela uma vez para encontrar C e duas vezes para encontrar B.

2)Aplicamos o limite tendendo para a raiz s = - 1 .

Passo 4

Determinando C:

1)

d d s s + 1 3 Y s = d d s s + 1 3 A s + s + 1 3 B s + 1 + s + 1 3 C s + 1 2 + D

d d s s + 1 3 . 1 s s + 1 3 = d d s s + 1 3 A s + s + 1 2 B + s + 1 1 C + D

- 1 s 2 = 3 s + 1 2 A s - s + 1 3 A s 2 + 2 s + 1 B + C

2)

lim s → - 1 ⁡ - 1 s 2 = lim s → - 1 ⁡ 3 s + 1 2 A s - s + 1 3 A s 2 + 2 s + 1 B + C

Assim,

C = - 1

Passo 5

Determinando D:

1)

d 2 d s 2 s + 1 3 Y s = d 2 d s 2 s + 1 3 A s + s + 1 3 B s + 1 + s + 1 3 C s + 1 2 + D

d 2 d s 2 s + 1 3 . 1 s s + 1 3 = d 2 d s 2 s + 1 3 A s + s + 1 2 B + s + 1 1 C + D

2 s 3 = d d s 3 s + 1 2 A s - s + 1 3 A s 2 + 2 B

Como o termo ( s + 1 ) vai continuar existindo depois de efetuar a derivada:

d d s 3 s + 1 2 A s - s + 1 3 A s 2

Não é necessário efetuar essa operação.

2)

lim s → - 1 ⁡ 2 s 3 = lim s → - 1 ⁡ d d s 3 s + 1 2 A s - s + 1 3 A s 2 + 2 B

Assim,

2 - 1 3 = 2 B

B =   - 1

Passo 6

Agora que temos nossos coeficientes definidos.

Y s = 1 s - 1 s + 1 - 1 s + 1 2 - 1 s + 1 3

Só aplicar a transformada inversa de Laplace:

L - 1 Y s = L - 1 1 s - L - 1 1 s + 1 - L - 1 1 s + 1 2 - L - 1 1 s + 1 3

Verificando em qualquer tabela de transformadas, verificamos que:

y t = 1 - e - t - t e - t - t 2 e - t 2

Que pode ser rescrita como:

y t = 1 - e - t 1 + t + t 2 2