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Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace e Função de Transferência

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Enunciado

Considere a seguinte função de transferência:

Y s R ( s ) = s + a s + b s + c   c o m   a ∈ R ,   b   e   c ∈   R +

Pede-se:

  1. Exprimir a equação diferencial correspondente;
  2. A transformada inversa de Laplace para obter y ( t ) considera a parte homogênea da equação diferencial? Se sim, indique quais são estes termos, admitindo que R ( s ) seja uma função degrau unitário.

Passo 1

Então galera, para fazer essa questão precisamos lembrar que toda equação diferencial tem em sua resposta um termo relacionado ao regime transitório e outro relacionado ao regime permanente.

y t = y h o m o g ê n e a t + y p a r t i c u l a r ( t )

Nesse caso o termo relacionado ao regime transitório é o y h o m o g ê n e a ( t ) é o termo relacionado ao regime permanente é y p a r t i c u l a r ( t ) .

E que a função de transferência é a relação entre a equação diferencial de saída pela excitação.

Y s = H s . X ( s )

Agora vamos ver como isso se encaixa com as questões do enunciado.

Passo 2

a) Sendo,

Y s R s = s + a ( s + b ) ( s + c )

Rearrumando:

Y s . s 2 + b c s + b c = R ( s ) ( s + a )

Separando as variáveis.

Y s s 2 + Y s s b + c + Y s b c = R s s + R s a

Como pela definição de função de transferência, as condições iniciais são consideradas nulas.

y ˙ 0 + = 0 ,   y 0 + = 0

Conseguimos fazer aparecer a estrutura abaixo:

Y s s 2 - s 0 - 0 + b + c Y s s - s 0 + Y s b c = [ R s s - 0 ] + R s a

[ Y s s 2 - s y 0 + - y ˙ ( 0 + ) + ( b + c ) [ Y s s - s y 0 + ] + Y s b c = [ R s s - r ( 0 + ] ) + R s a

Que pela inversa da transformada de Laplace conseguimos:

y ¨ t + y ˙ t b + c + y t b c = r ˙ t + a r ( t )

Passo 3

b) A transformada inversa de Laplace para obter y ( t ) considera a parte homogênea da equação diferencial? Se sim, indique quais são estes termos, admitindo que R ( s ) seja uma função degrau unitário.

Então, para conseguirmos saber o que responder, olhamos para nossa função de transferência H ( s ) .

Y s = H s . X ( s )

Como,

H s = s + a ( s + b ) ( s + c )

Ao excitarmos o sistema com um degrau unitário, o que é nossa primeira tentativa normalmente quando vamos analisar a resposta de um sistema a uma excitação.

X s = 1 s

Y s = s + a s + b s + c . 1 s

Ao expandir em frações parciais:

s + a s + b s + c . 1 s = A s + b + B s + c + C s

Igualando os denominadores resulta em:

s + a s + b s + c . 1 s = A s + c s s + c s + b s + B s + b s s s + c s + b + C ( s + b ) ( s + c ) s s + c s + b

s + a = A s + c s + B s + b s + C ( s + b ) ( s + c )

Para s = - b :

- b + a = A - b + c ( - b ) + B - b + b ( - b ) + C ( - b + b ) ( - b + c )

- b + a = A - b + c ( - b )

A = - b + a - b + c - b

Para s = - c :

- c + a = A - c + c ( - c ) + B - c + b ( - c ) + C ( - c + b ) ( - c + c )

- c + a = B - c + b ( - c )

B = - c + a - c + b - c

Para s = 0 :

0 + a = A 0 + c ( 0 ) + B 0 + b ( 0 ) + C ( 0 + b ) ( 0 + c )

a = C b ( c )

C = a b c

Substituindo o valor das variáveis A , B   e   C em Y ( s ) .

Y s = - b + a - b + c - b 1 s + b + - c + a - c + b - c 1 s + c + a b c 1 s

Fazendo a transformada inversa de Laplace de Y ( s ) .

L - 1 Y s = - b + a - b + c - b . e - b t + - c + a - c + b - c . e - c t + a b c

Os termos que contêm a exponencial elevado a um valor negativo, são os termos associados a resposta homogênea e o termo constante é o associado a resposta particular.