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Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace e Função de Transferência

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Enunciado

Ache a inversa de Laplace da seguinte equação:

Y s = 2 s ( s 2 + 2 s + 2 )

Passo 1

Falaaa... beleza???? Vamos fazer essa inversa aqui juntos?? Então bora...

A primeira coisa que vamos fazer é dividir em frações parciais, que vai ficar assim: (repara bem quando o polinômio embaixo é de segundo grau, em cima vai ter um do primeiro grau...)

2 s s 2 + 2 s + 2 = A s + B s + C s 2 + 2 s + 2

E vamos usar a tabela de transformadas:

E vamos fazer uma pré seleção das que parecem mais com as do nosso problema:

f t = 1 → F s = 1 s

f t = e a t sin ⁡ b t → F s = b s - a 2 + b 2

f t = e a t cos ⁡ b t → F s = s - a s - a 2 + b 2

Passo 2

Vamos achar os A , B   e   C , então:

2 = A s 2 + 2 s + 2 + B s + C s

2 = A s 2 + 2 A s + 2 A + B s 2 + C s

2 = A + B s 2 + 2 A + C s + 2 A

E ficamos com o sisteminha: (igualando o que ta na frente do s 2 de um lado e do outro, do s e os que não têm s )

A + B = 0 2 A + C = 0 2 A = 2

E achamos:

2 A = 2

A = 1

A + B = 0

1 + B = 0

B = - 1

2 A + C = 0

2 1 + C = 0

C = - 2

Então ficamos com:

2 s s 2 + 2 s + 2 = A s + B s + C s 2 + 2 s + 2

2 s s 2 + 2 s + 2 = 1 s - s + 2 s 2 + 2 s + 2

A gente vai precisar achar a inversa de 1 s e de s + 2 s 2 + 2 s + 2 .

Pra 1 s é só ver:

f t = 1 → F s = 1 s

Então:

L - 1 1 s = 1

Passo 3

E pra outra vamos precisar fazer algumas manipulaçõezinhas...

Primeiro a gente quer deixar parecido com:

f t = e a t cos ⁡ b t → F s = s - a s - a 2 + b 2

(a gente sempre começa com o “s”, que a do cosseno, porque depois é só ir adicinando alguma coisa e vai dar a do seno)

s + 2 s 2 + 2 s + 2 = ?

A gente pode reescrever assim, oh:

s + 2 s 2 + 2 s + 2 = s + 1 + 1 s + 1 2 + 1

E dá pra dividir em duas, ainda:

s + 2 s 2 + 2 s + 2 = s + 1 s + 1 2 + 1 + 1 s + 1 2 + 1

Passo 4

Vamos pegar a primeira parcela da soma: s + 1 s + 1 2 + 1

Repara que temos o caso a = - 1 e b = 1 , então vamos ter:

L - 1 s + 1 s + 1 2 + 1 = e - 1 t cos ⁡ 1 t

L - 1 s + 1 s + 1 2 + 1 = e - t cos ⁡ t

Já pra segunda parcela: 1 s + 1 2 + 1

Agora vamos relacionar com o seno:

L - 1 1 s + 1 2 + 1 = e - t sin ⁡ t

Entãããooo agora é só somar tudo (ou diminuir porque tem um sinal de menos... só ter atenção):

L - 1 2 s s 2 + 2 s + 2 = L - 1 1 s - L - 1 s + 1 s + 1 2 + 1 + L - 1 1 s + 1 2 + 1

L - 1 2 s s 2 + 2 s + 2 = 1 - e - t cos ⁡ t + sin ⁡ t

E acabamos... dá um trabalhinho, mas a gente chega, viu?

Resposta

L - 1 2 s s 2 + 2 s + 2 = 1 - e - t cos ⁡ t + sin ⁡ t