Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace e Função de Transferência

Ver Teoria

Enunciado

Resolva a equação diferencial ordinária abaixo pelo método da transformada de Laplace:

y ¨ + y = 4 δ t - 2 π com y 0 = 1 e y ˙ 0 = 0

Passo 1

Show, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de boas!

Quando temos que resolver EDO como essa de cima, começamos rescrevendo a EDO colocando todos os termos semelhantes de um mesmo lado, caso seja possível.

Depois aplicamos a transformada de Laplace e utilizamos suas propriedades para arrumarmos a equação e encontrarmos a solução de   Y ( s ) . Após termos encontrado a solução de Y ( s ) , no domínio da frequência, aplicamos a transformada inversa de Laplace para conseguirmos a resposta no domínio do tempo.

Passo 2

Temos então a seguinte EDO: y ¨ + y = 4 δ t - 2 π com y 0 = 1 e y ˙ 0 = 0

Lembrando que δ ( t ) é a função impulso, que tem como L δ t = 1 .

Nessa questão também iremos utilizar a propriedade:

L e - α t f t = F s + a

Aplicando a transformada de Laplace temos:

s 2 Y s - s y 0 + - y ˙ 0 + + Y s = 4 e - 2 π s

Como y 0 = 1 e y ˙ 0 = 0

s 2 Y s - s 1 - 0 + Y s = 4 e - 2 π s

Y s s 2 + 1 = s + 4 e - 2 π s

Y s = s s 2 + 1 + 4 e - 2 π s s 2 + 1

Y s = s s 2 + 1 + 4 1 s 2 + 1 e - 2 π s

Passo 3

Aplicando a transformada inversa de Laplace, temos:

L - 1 Y s = L - 1 s s 2 + 1 + 4 L - 1 1 s 2 + 1 e - 2 π s

Observando a propriedade da transformada de Laplace:

L f t - α μ - 1 ( t - a ) = e - α t F s

E as seguintes transformadas de Laplace:

L [ sen ⁡ ω t ] = 1 s 2 + ω 2

L [ cos ⁡ ω t ] = ω s 2 + ω 2

Para o primeiro termo temos:

L - 1 s s 2 + 1 = cos ⁡ 1 . t

E para o segundo termo:

4 L - 1 1 s 2 + 1 e - 2 π s ⏟ P r o p r i e d a d e = 4 sen ⁡ t - 2 π

Substituindo os resultados em y ( t ) .

y t = cos ⁡ t + 4 sen ⁡ t - 2 π . u - 1 ( t - 2 π )

Sendo a função u - 1 t - 2 π a função degrau unitário definida como

u - 1 t - 2 π = 0 ,     0 ≤ t < 2 π 1 ,     t ≥ 2 π

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)