Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace em circuitos

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Enunciado

Determine v o ( t ) no circuito da figura. Suponha v o ( 0 ) = 5   V .

Passo 1

Primeira coisa aqui é passar todos os elementos (ativos e passivos) para o domínio de Laplace (domínio s) e desenhar o circuito novamente.

Além disso, vamos adicionar uma fonte de corrente paralela ao capacitor para indicar a condição inicial do enunciado. Como v o ( 0 ) = 5   V e esse v o ( t ) está em cima do capacitor, então, pela Primeira Lei de Ohm teremos C × v o ( 0 ) = 0.1 × 5 = 0.5   A

Passo 2

Agora vamos fazer a análise nodal no nó superior (perceba que em cima do circuito é um único nó cuja tensão é V o ( s ) que queremos calcular).

10 s + 1 - V o 10 + 2 + 0.5 = V o 10 + V o 10 s

1 s + 1 + 2.5 = 2 V o 10 + s V o 10 = 1 10 V o ( s + 2 )

Simplificando…

10 s + 1 + 25 = V o ( s + 2 )

Passo 3

Vamos separar em frações parciais agora e achar os valores de A e B para então fazer a transformada inversa.

V o = 25 s + 35 ( s + 1 ) ( s + 2 ) = A s + 1 + B s + 2

Para o A…

A = ( s + 1 ) V o ( s ) | s =   - 1 = 25 s + 35 ( s + 2 ) | s =   - 1 = 10 1 = 10

Para o B…

B = ( s + 2 ) V o ( s ) | s =   - 2 = 25 s + 35 ( s + 1 ) | s =   - 2 = - 15 - 1 = 15

Portanto,

V o ( s ) = 10 s + 1 + 15 s + 2

Fazendo a transformada inversa através das fórmulas temos:

v o ( t ) = ( 10 e - t + 15 e - 2 t ) u ( t )   V

Resposta

v o ( t ) = ( 10 e - t + 15 e - 2 t ) u ( t )   V

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