Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace em circuitos

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Enunciado

Determine as respostas ao degrau unitário e ao impulso no circuito abaixo.

Passo 1

O enunciado nos pede a tensão no indutor v 0 t quando a corrente da fonte i 1 ( t ) for primeiro um degrau unitário   u t e depois um impulso unitário δ ( t ) . Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o caso em que i t = u t . Como a fonte de corrente é um degrau unitário, até o instante t = 0 , não há circulação de corrente no circuito e para t > 0 a fonte de corrente vale 1   A . Logo, para t > 0 ,   vamos analisar o circuito abaixo.

Sabemos que a tensão no indutor tem a seguinte relação:

v 0 t = L d i L d t = 2 d i L d t

E como o indutor está em paralelo com o resistor de 3   Ω , eles possuem a mesma tensão.

v 0 t = 3 i 2

Aplicando LCK no nó:

i 1 = i 2 + i L

Como, para t > 0 , i 1 = u ( t )   A .

i 2 = u ( t ) - i L

Logo,

v 0 t = 3 ( u ( t ) - i L )

2 d i L d t = 3 u ( t ) - 3 i L

2 d i L d t + 3 i L = 3 u ( t )

d i L d t + 3 2 i L = 3 2 u ( t )

Passo 3

Aplicando Transformada de Laplace na expressão acima, temos

s I L s - i L 0 + + 3 2 I L s = 3 2 1 s

Como a fonte de corrente é um degrau unitário, até o instante t = 0 , não há circulação de corrente no circuito. Logo, i L t = 0 para t < 0 . Lembrando que a corrente no indutor não pode variar instantaneamente, então:

i 0 - = i 0 = i 0 + = 0

Portanto, substituindo a nossa condição inicial, temos:

s I L s - ( 0 ) + 3 2 I L s = 3 2 1 s

Isolando a transformada da corrente,

I L s s + 3 2 = 3 2 1 s  

I L s = 3 2 s s + 3 2

Passo 4

Agora que encontramos a expressão para I L ( s ) , vamos utilizar o método de expansão em frações parciais.

Expandindo em frações parciais,

I L s = A s + B s + 3 2

Agora, precisamos determinar as constantes A e B .

Para A , temos

A = lim s → 0 ⁡ s - 0 I L s

A = lim s → 0 ⁡ s 3 2 s s + 3 2

Simplificando,

A = lim s → 0 ⁡ 3 2 s + 3 2

A = 1

Vamos seguir o mesmo processo para encontrarmos B .

B = lim s → - 3 2 ⁡ s + 3 2 I L s

B = lim s → - 3 2 ⁡ s + 3 2 3 2 s s + 3 2

Simplificando,

B = lim s → - 3 2 ⁡ 3 2 s

B = - 1

Substituindo o valor de cada constante, temos que

I L s = 1 s - 1 s + 3 2

Passo 5

Agora que encontramos a expressão para I L ( s ) em frações parciais, vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:

L - 1 I L s = u t - e - 3 2 t   u ( t )

Portanto,

i L t = 1 - e - 3 2 t   u ( t )

Passo 6

Agora que encontramos a corrente que passa pelo indutor, finalmente podemos encontrar o valor de v 0 t . Sabemos que:

v 0 t = 2 d i L d t

Substituindo,

v 0 t = 2 × d 1 - e -   3 2 t d t

v 0 t = 2 × - 3 2 - e -   3 2 t

Logo,

v 0 t = 3 e -   3 2 t   u ( t )

Passo 7

Agora, precisamos encontrar v 0 t para quando i i t = δ ( t ) . No instante t = 0 , um impulso de corrente no indutor causaria uma corrente infinita passando por ele, o que não é possível. Logo, o impulso de corrente fornecido pela fonte deve passar somente pelos resistores.

Quando esse impulso unitário de corrente passa pelo resistor de 3   Ω , ele gera um impulso de tensão no resistor e, consequentemente, no indutor, já que eles estão em paralelo. Portanto podemos dizer que:

v 0 0 = 3 δ ( t )

Passo 8

Encontramos o valor de v 0 no instante t = 0 . Agora temos que calcular para t > 0 .

Quando i 1 t = δ ( t ) , a EDO que a gente tinha encontrado fica assim:

d i L d t + 3 2 i L = 3 2 δ ( t )

Aplicando Transformada de Laplace na expressão acima, temos

s I L s - i L 0 + + 3 2 I L s = 3 2

Como,

i L 0 + = 0

Temos:

s I L s - ( 0 ) + 3 2 I L s = 3 2

Isolando a transformada da corrente,

I L s s + 3 2 = 3 2

I L s = 3 2 s + 3 2

Passo 9

Agora que encontramos a expressão para I L ( s ) em frações parciais, vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:

L - 1 I L s = 3 2 e - 3 2 t   u ( t )

Portanto,

i L t = 3 2 e - 3 2 t   u ( t )

Passo 10

Agora que encontramos a corrente que passa pelo indutor para t > 0 , finalmente podemos encontrar o valor de v 0 t . Sabemos que:

v 0 t = 2 d i L d t

Substituindo,

v 0 t = 2 × d 3 2 e - 3 2 t   d t

v 0 t = 2 × - 9 4 e - 3 2 t

v 0 t = - 9 2 e - 3 2 t   u ( t )

Logo, a expressão geral para v 0 ( t ) quando a fonte de corrente é um degrau unitário é:

v 0 t = 3 δ t - 9 2 e - 3 2 t   u ( t )

Resposta

v 0 t = 3 e -   3 2 t   u t ,     p a r a   i 1 t = u ( t )

v 0 t = 3 δ t - 9 2 e - 3 2 t   u t ,     p a r a   i 1 t = δ t

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