Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace

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Enunciado

A equação diferencial que modela o torque m ( t ) de um motor exigido para um certo sistema de controle de velocidade é

4 m ¨ + 4 K m ˙ + K 2 m = K 2 v ˙ d

Onde v d ( t ) é a velocidade desejada e K é uma constante chamada “ganho”.

Use o método da transformada de Laplace para encontrar a resposta ao degrau unitário (isto é, v d ( t ) é uma função degrau unitário). Use condições iniciais nulas.

Passo 1

O exercício pede para encontrarmos a resposta do torque m ( t ) a v d ( t ) igual a um degrau unitário, usando a transformada de Laplace. Em outras palavras, vamos encontrar a solução m da equação diferencial de segunda ordem dada pelo enunciado. Primeiramente, aplicaremos a função l a p l a c e do MATLAB na equação diferencial para encontrarmos a transformada de m .

Como o enunciado não especificou nada, consideraremos que a variável independente das transformadas de Laplace é s , que é o padrão do MATLAB. Logo, a transformada de Laplace de m ( t ) será M ( s ) .

Após encontrarmos M ( s ) , vamos aplicar i l a p l a c e para encontrar a inversa da transformada, isto é, m ( t ) , que é a solução da equação diferencial.

Passo 2

Vamos começar entrando com a equação diferencial no MATLAB, termo a termo. Em um script novo, digite as linhas de código:

Na primeira linha, criamos as variáveis simbólicas K e m ( t ) , indicando que m é em função de t .

Na segunda linha, calculamos a derivada m ˙ usando a função d i f f ( m , t ) do MATLAB. Como estamos trabalhando com variáveis simbólicas, d i f f ( m , t ) apenas representa a derivada de m em relação a t e é armazenado em D m .

Na terceira linha, calculamos a derivada m ¨ , pedindo ao MATLAB para calcular a derivada de D m em função de t ( d i f f ( D m , t ) ).

Na quarta linha, criamos um degrau unitário v _ d em função de t usando a função h e a v i s i d e ( t ) , representando a velocidade desejada do motor.

Na quinta linha, definimos a primeira derivada do degrau unitário v ˙ d usando d i f f ( v _ d , t ) . A derivada é armazenada em D v _ d .

Tendo definido os termos da equação, vamos criá-la e armazená-la na variável e q :

Note que joguei todos os termos da equação diferencial para a esquerda, e que fiz tudo igual a 0 .

Passo 3

Com a equação diferencial no MATLAB, podemos usar a função l a p l a c e para calcular a transformada de Laplace dela. Lembrando que l a p l a c e tem como estrutura:

F = l a p l a c e ( f )

Ela retorna a transformada de Laplace da função f , armazenando-a na variável F .

Acrescente em seu programa o comando abaixo para calcular a transformada de Laplace de e q :

O resultado é armazenado em E . Vamos ver como ele ficou? Rode o programa que fizemos até agora e imprima E no Command Window:

Ficou um expressão bem comprida, tá até difícil de ler.

Vamos resolver isso fazendo umas substituições. Perceba que o MATLAB usa l a p l a c e ( m ( t ) , t , s ) em alguns elementos de E , que tem exatamente a mesma estrutura da função l a p l a c e . Essa expressão representa a transformada de Laplace de m ( t ) e pode ser substituída por M ( s ) . No caso, chamaremos M ( s ) só de M .

Adicione os comandos abaixo em seu programa para fazer a substituição:

Primeiramente, devemos criar mais duas variáveis simbolicas: s e M . Em seguida, usamos a função s u b s para pedir ao MATLAB que substitua em E a expressão l a p l a c e ( m ( t ) , t , s ) por M . O resultado da substituição é armazenado em E , substituindo a expressão anterior. Após a susbtituição, E fica assim:

Melhorou bastante, né? Agora vamos substituir as condições iniciais em E . O enunciado disse que elas são nulas, logo, m 0 = m ˙ 0 = 0 . Na expressão acima, é fácil de identificar quem é m ( 0 ) . Já m ˙ 0 é representado por D ( m ) ( 0 ) .

Para fazer as substituições, adicione ao seu programa a linha de código:

Com este comando, substituímos em E m ( 0 ) e D ( m ) ( 0 ) por 0 e armazenamos a nova expressão em E , no lugar da antiga. Note que usei aspas simples em ' D ( m ) ( 0 ) ' . Elas servem para indicar que é uma expressão só. Se você tentar rodar o programa sem elas, o MATLAB acusará erro de sintaxe.

Vamos ver a nova cara de E :

Passo 4

Agora podemos encontrar m ( t ) . Para isto, precisamos encontrar M ( s ) para daí aplicar nele i l a p l a c e , para termos a inversa da tranformada de Laplace. Em E , a variável M representa M ( s ) e podemos usar a função s o l v e do MATLAB para encontrá-la. Adicione em seu código:

Com este comando, a função s o l v e resolve a equação E para a variável M e armazena a solução em M , atualizando seu valor. Na prática, isolamos M na equação com este comando e M passa a representar a expressão algébrica de M ( s ) . Rodando o programa, temos que M é igual a:

Passo 5

Para encontrarmos m ( t ) , devemos aplicar a inversa da transformada de Laplace em M ( s ) , isto é, usar a função i l a p l a c e do MATLAB em M . A função i l a p l a c e tem a estrutura:

f = i l a p l a c e ( F )

Ela retorna a inversa da transformada de Laplace de F , armazenando-a na variável f .

Para encontrar m ( t ) , entre o comando:

Com este comando, o MATLAB calcula a inversa da transformada de Laplace de M e armazena o resultado em m , atualizando seu valor. m é a solução da equação diferencial, representadno a resposta do sistema ao degrau unitário. Rodando o programa, temos que m é igual a:

Resposta

A resposta ao degrau unitário é:

m t = K 2 t e - K t 2 4