Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace

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Enunciado

Usando o MATLAB, calcule a transformada de Laplace de:

  1. Degrau unitário u ( t ) ;
  2. Impulso unitário δ ( t ) .

Passo 1

O exercício pede para encontrarmos a transformada de Laplace, usando o MATLAB, de duas funções muito utilizadas na área de controle: a função degrau unitário e a função impulso unitário.

Para criarmos a função degrau unitário no MATLAB, usaremos a função h e a v i s i d e ( ) . Já para a função impulso, usaremos a função d i r a c ( ) . Essa deve ser a primeira vez que você vê essas funções, mas não se preocupe, vamos ver direitinho como elas funcionam. Ao final, usaremos a função l a p l a c e ( ) para encontrar as transformadas de u ( t ) e δ ( t ) .

Como o enunciado não especificou nada, consideraremos que a variável independente de u ( t ) e δ ( t ) é t e que a transformada de Laplace delas será em função de s , que é o padrão adotado pelo MATLAB. Em outras palavras, a transformada de Laplace de u ( t ) e δ ( t ) será representada por U ( s ) e D ( s ) , respectivamente.

Passo 2

Vamos começar pela letra a. Para criarmos o degrau unitário u ( t ) no MATLAB, usaremos a função h e a v i s i d e , que tem a estrutura:

u = h e a v i s i d e ( t )

Ela cria um degrau unitário e o armazena em u : quando t   <   0 , u = 0 . Se t = 0 , u = 1 / 2 . Finalmente, para t >   0 , u = 1 .

Em um script novo, digite as duas linhas de código:

Na primeira linha, criamos a variável simbólica t .

Na segunda linha, usamos a função h e a v i s i d e para criar o degrau unitário, que é armazenado em u . Como t é uma variável simbólica, se você rodar o programa e pedir pra ver u , o MATLAB vai te retornar isso:

Como não foi definido se t é maior, menor ou igual a 0 , o MATLAB vai armazenar em u a função h e a v i s i d e ( t ) mesmo.

Passo 3

Após criar o degrau unitário, podemos achar sua transformada de Laplace usando o comando l a p l a c e , que tem a estrutura:

F = l a p l a c e ( f )

Ela retorna a transformada de Laplace da função f , armazenando-a na variável F . Como não tem mais nenhuma entrada em l a p l a c e além de f , o MATLAB assumirá que a variável independente de f é t e fará que a transformada de Laplace F seja em função de s .

Adicione ao seu script o comando:

Ele vai calcular a transformada de Laplace de u e vai armazenar o resultado em U .

Vamos ver a carinha de U ? Rode o programa e você terá:

Pronto! Letra a concluída.

Passo 4

Vamos fazer a letra b. Para criarmos o impulso unitário δ ( t ) no MATLAB, usaremos a função d i r a c , que tem a estrutura:

d = d i r a c ( t )

No MATLAB, d i r a c calcula o delta de Dirac de t , que basicamente diz que pra qualquer valor t ≠ 0 , d = 0 . Já para t = 0 , d = ∞ . Logo, isso representa matematicamente um sinal de impulso.

Em um novo script do MATLAB, digite as duas linhas de código:

Na primeira linha, criamos a variável simbólica t .

Na segunda linha, usamos a função d i r a c para criar o impulso unitário, que é armazenado em d . Como t é uma variável simbólica, se você rodar o programa e pedir pra ver d , o MATLAB vai te retornar isso:

Como não foi definido se t é igual ou diferente a 0 , o MATLAB vai armazenar em d a função d i r a c ( t ) mesmo.

Passo 5

Após criar a função impulso d , vamos usar l a p l a c e para encontrar a transformada de Laplace de d , adicionando no código o comando:

A transformada de Laplace de d é armazenda na variável D .

Ao rodarmos o programa, vemos que a transformada de Laplace do impulso unitário é:

Resposta

  1. A transformada de Laplace de u ( t ) é
  2. U s = 1 s

  3. A transformada de Laplace de δ ( t ) é

D s = 1