Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace

Ver Teoria

Enunciado

Usando as funções l a p l a c e e i l a p l a c e do MATLAB, encontre y ( t ) resolvendo a equação diferencial abaixo:

d ² y d t ² + 2 ξ d y d t + y = u ( t )

Onde u ( t ) é a função degrau unitário. Considere y ( 0 ) = 0 e d y ( 0 ) / d t = 0 .

Passo 1

O exercício pede para encontrarmos a solução y ( t ) de uma equação diferencial de segunda ordem, usando transformada de Laplace. Primeiramente, aplicaremos a função l a p l a c e do MATLAB na equação diferencial para encontrarmos a transformade de y ( t ) . Como o enunciado não especificou nada, consideraremos que a variável independente das transformadas de Laplace é s , que é o padrão do MATLAB. Logo, a transformada de Laplace de y ( t ) será Y ( s ) .

Após encontrarmos Y ( s ) , vamos aplicar i l a p l a c e para encontrar a inversa da transformada, isto é, y ( t ) , que é a solução da equação diferencial.

Passo 2

Vamos começar entrando com a equação diferencial no MATLAB, termo a termo. Em um script novo, digite as linhas de código:

Na primeira linha, criamos duas variáveis simbólicas: c s i (representando a letra grega ξ ) e y ( t ) (indicamos que y é em função de t ).

Na segunda linha, calculamos a derivada d y d t usando a função d i f f ( y , t ) do MATLAB. Como estamos trabalhando com variáveis simbólicas, d i f f ( y , t ) calcula a derivada de y em relação a t e armazena a resposta em D y . Como a função y não é conhecida, se pedirmos ao MATLAB para nos mostrar D y , ele indicará:

Na terceira linha, calculamos a derivada d ² y d t ² , pedindo ao MATLAB para calcular a derivada de D y em função de t ( d i f f ( D y , t ) ).

Na quarta linha, criamos um degrau unitário u em função de t usando a função h e a v i s i d e ( t ) .

Tendo definido os termos da equação, vamos criá-la e armazená-la na variável e q n :

Perceba que joguei o degrau unitário u para o lado esquerdo da equação, e deixei tudo igual a 0 .

Passo 3

Com a equação diferencial no MATLAB, podemos usar a função l a p l a c e para calcular a transformada de Laplace dela. Lembrando que l a p l a c e tem como estrutura:

F = l a p l a c e ( f )

Ela retorna a transformada de Laplace da função f , armazenando-a na variável F . Quando não tem mais nenhuma entrada em l a p l a c e além de f , o MATLAB assume que a variável independente de f é t e fará que a transformada de Laplace F seja em função de s .

Acrescente em seu programa o comando abaixo para calcular a transformada de Laplace de e q n :

O resultado é armazenado em E .

Vamos ver como ficou E ? Rodando o programa que fizemos até agora, temos:

Nossa, ficou bem grandinho, né? Pra caber na página, tive que deixar a letra beeeem pequeninha.

Vamos resolver isso fazendo umas substituições. Perceba que o MATLAB usa l a p l a c e ( y ( t ) , t , s ) em alguns elementos de E , que tem exatamente a mesma estrutura da função l a p l a c e . Essa expressão representa a transformada de Laplace de y ( t ) e pode ser substituída por Y ( s ) . No caso, chamaremos Y ( s ) só de Y .

Adicione os comandos abaixo em seu programa para fazer a substituição:

Primeiramente, devemos criar mais duas variáveis simbolicas: s e Y . Em seguida, usamos a função s u b s para pedir ao MATLAB que substitua em E a expressão l a p l a c e ( y ( t ) , t , s ) por Y . O resultado da substituição é armazenado em E , ficando no lugar aquela expressão comprida que vimos.

Após a susbtituição, E fica assim:

Note que tem mais coisa pra substituir aí. O enunciado disse para considerarmos y ( 0 ) = 0 e d y ( 0 ) / d t = 0 . O y ( 0 ) é fácil de achar ali em cima, mas e o d y ( 0 ) / d t ? Ele é representado por s u b s ( d i f f ( y ( t ) ,   t ) ,   t ,   0 ) .

Para fazer as substituições, adicione ao seu programa as duas linhas de código:

Na primeira linha, substituímos y ( 0 ) por 0 em E e armazenamos a nova expressão em E , no lugar daquele E mais comprido.

Na segunda linha, substituímos s u b s ( d i f f ( y ( t ) ,   t ) ,   t ,   0 ) por 0 , isto é, fazemos que d y ( 0 ) / d t = 0 , no E gerado na linha anterior. A nova expressão é armazenada em E , no lugar da anterior.

Executando o programa, podemos ver como E está agora:

Bem mais enxuta, né?

Passo 4

Para encontrar y ( t ) , precisamos encontrar Y ( s ) para daí aplicar nela i l a p l a c e , para termos a inversa da tranformada de Laplace. Em E , a variável Y representa Y ( s ) e podemos usar a função s o l v e do MATLAB para encontrá-la. Adicione em seu código:

Com este comando, a função s o l v e resolve a equação E para a variável Y e armazena a solução em Y , atualizando seu valor. Na prática, isolamos Y na equação com este comando e Y passa a representar a expressão algébrica de Y ( s ) . Rodando o programa, temos que Y é igual a:

Quer dizer que:

Y s = 1 s 3 + 2 ξ s 2 + s

Para encontrarmos y ( t ) , devemos aplicar a inversa da transformada de Laplace em Y ( s ) , isto é, usar a função i l a p l a c e do MATLAB em Y . A função i l a p l a c e tem a estrutura:

f = i l a p l a c e ( F )

Ela retorna a inversa da transformada de Laplace de F , armazenando-a na variável f . Quando não tem mais nenhuma entrada em i l a p l a c e além de F , o MATLAB assume que a variável independente de F é s e fará que a inversa da transformada de Laplace f seja em função de t .

Para encontrar y ( t ) , entre o comando:

Com este comando, o MATLAB calcula a inversa da transformada de Laplace de Y e armazena o resultado em y , atualizando seu valor. y é a solução da equação diferencial.

Rodando o programa, temos que y é igual a:

Resposta

y t = 1 - e - ξ t cosh ⁡ t ξ 2 - 1 + ξ sinh ⁡ t ξ 2 - 1 t ξ 2 - 1