Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas – Completando Quadrados

UERJ – Cálculo 3 – Lista 8 – Prof. Paula Clemente – 4f

Ache a transformada inversa da função dada:

2 s + 2 s 2 + 2 s + 5

Passo 1

Eita que cara estranha, a parada é ir decompondo, é muito importante ficar craque nisso! Vamos lá!

2 s + 2 s 2 + 2 s + 5 = 2 s + 2 s 2 + 2 s + 1 + 4

Esse denominador aí não tem raízes reais, então vamos tentar escrevê-lo no formato:

s + a 2 + b = s 2 + 2 a + ( a 2 + b )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Comparando com o nosso denominador, obtemos:

a = 1 ; b = 4

Então:

2 s + 2 s 2 + 2 s + 1 + 4 = 2 s + 2 s + 1 2 + 4

Passo 3

Opa, não dá pra aplicar fração parcial nisso. Deu ruim? Não não, calma, lembra da teoria que podemos ter uma função deslocada?? Vamos colocar mais um molecão em evidência aqui:

2 s + 2 s + 1 2 + 4 = 2 s + 1 s + 1 2 + 4

Sempre que você ver essa função deslocada, esquece esse deslocamento rapidinho, ou seja:

2 s s 2 + 4

Opa, esse daí você conhece, o inverso dele é:

2 cos ⁡ ( 2 t )

Passo 4

Certo? Mas não esquece que ela está deslocada, lá na teoria a gente conversou e viu que: L e c t f t s = L f t s - c

Se eu pegar uma função que varia com t e multiplicar ela por uma exponencial e c t , a transformada de Laplace sofrerá um deslocamento ( s - c ) , nesse caso estamos deslocados em y + 1 , logo - c = + 1 , assim c = - 1 . A cara do resultado é:

L - 1 2 s + 2 s 2 + 2 s + 5 =   2 cos ⁡ ( 2 t ) e - t

Resposta

L - 1 2 s + 2 s 2 + 2 s + 5 =   2 cos ⁡ ( 2 t ) e - t

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