Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas – Completando Quadrados

Transformada de Laplace

Calcule a inversa da Laplace de:

1 s 2 ( s 2 + s + 1 )

Passo 1

Antes de fazer qualquer coisa vamos chamar de y a função que queremos, então

L y = 1 s 2 ( s 2 + s + 1 )

Aqui temos uma fração com polinômio no numerador e no denominador. Vamos usar Frações Parciais para separa isso em somas menores que serão mais fáceis de fazer a inversa da Transformada de Laplace.

Vamos ver primeiro se conseguimos fatorar aquele polinômio de 2 º grau.

Nesse caso vamos ver as raízes de

s 2 + s + 1 = 0

Δ = 1 2 - 4 ∙ 1 ∙ 1 = 1 - 4 = - 3

Então as raízes são complexas, isso quer dizer que esse polinômio de 2 º grau é irredutível.

Aplicando as frações parciais vamos ter

1 s 2 s 2 + s + 1 = A s + B s 2 + C s + D s 2 + s + 1

Onde A , B , C e D são números que precisamos achar

Igualando os denominadores vamos ter

1 s 2 s 2 + s + 1 = A s s 2 + s + 1 + B s 2 + s + 1 + C s ∙ s 2 + D s 2 s 2 ( s 2 + s + 1 )

1 s 2 s 2 + s + 1 = A s 3 + A s 2 + A s + B s 2 + B s + B + C s 3 + D s 2 s 2 s 2 + s + 1

1 s 2 s 2 + s + 1 = A + C s 3 + A + B + D s 2 + A + B s + B s 2 ( s 2 + s + 1 )

Agora temos que igualar os coeficientes:

A + C = 0 A + B + D = 0 A + B = 0 B = 1

Agora que temos o B vamos achar o A pela terceira equação

A + 1 = 0 ⇒ A = - 1

Agora que temos A e B vamos achar D pela segunda equação e C pela primeira

- 1 + 1 + D = 0 ⇒ D = 0

- 1 + C = 0 ⇒ C = 1

A nossa fração vai ficar

1 s 2 s 2 + s + 1 = - 1 s + 1 s 2 + s s 2 + s + 1

E vamos ter

L y = - 1 s + 1 s 2 + s s 2 + s + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos continuar a caçada. Para as duas primeiras parcelas basta lembrar que

L t n = n ! s n + 1

Na primeira parcela temos

n + 1 = 1 ⇒ n = 0

Isso porque queremos igualar os expoentes de s , então

- 1 s = - L t 0 = - L 1 = L - 1

Na segunda parcela temos

n + 1 = 2 ⇒ n = 1

Então

1 s 2 = 1 ! s 2 = L t 1

Passo 3

Para a última parcela vamos fazer em um passo separado porque é um pouco mais complicado. Queremos a inversa da Transformada de

s s 2 + s + 1

Vamos fazer

L f t = s s 2 + s + 1

Normalmente quando temos um polinômio de 2 º grau no denominador vamos olha a transformada de sem ⁡ a t ou cos ⁡ a t . Isso porque

L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

E

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Mas a nossa função tem um s junto com o s 2 , então vamos combinar essas transformadas com a transformada

L e b t f t = L f t s - b

Então na verdade queremos comparar com

L e b t sen ⁡ a t = a s - b 2 + a 2

E

L e b t cos ⁡ a t = s - b s - b 2 + a 2

A primeira coisa que temos que fazer é tentar escrever o denominador como s - b 2 + a 2

Abrindo isso temos

s 2 - 2 b + b 2 + a 2

E temos

s 2 - 2 b + b 2 + a 2 = s 2 + s + 1

Comparando vamso ter

- 2 b = 1

b 2 + a 2 = 1

Assim

b = - 1 2

- 1 2 2 + a 2 = 1

a 2 = 1 - 1 4 = 3 4

a = 3 2

Consideramos sempre a > 0 .

Beleza, então temos

L f t = s s + 1 2 2 + 3 4

Comparando com as transformadas ali em cima de e b t sen ⁡ a t e e b t cos ⁡ a t , nenhuma delas se parece com isso que achamos, isso porque o numerador é diferente.

Como temos s no numerador vamos escrever o numerador como s - b , que assim conseguimos comparar com a transformada de e b t cos ⁡ a t .

Para isso vamos fazer

L f t = s s + 1 2 2 + 3 4 = s + 1 2 - 1 2 s + 1 2 2 + 3 4

Somamos e subtraímos o 1 2 , assim não mudamos a nossa conta e temos, em parte, algo que conseguimos fazer a transformada inversa.

L f t = s + 1 2 s + 1 2 2 + 3 4 - 1 2 1 s + 1 2 2 + 3 4 = L e - 1 2 t cos ⁡ 3 t 2 - 1 2 1 s + 1 2 2 + 3 4

Aquela segunda parcela é parecida com a transformada do e b t sen ⁡ a t , falta só p a no numerador, podemos fazer

1 s + 1 2 2 + 3 4 = 3 2 3 2 1 s + 1 2 2 + 3 4 = 2 3 3 2 s + 1 2 2 + 3 4

Voltando par a L f t

L f t = L e - 1 2 t cos ⁡ 3 t 2 - 1 2 2 3 3 2 s + 1 2 2 + 3 4

L f t = L e - 1 2 t cos ⁡ 3 t 2 - 1 3 L e - 1 2 t sen ⁡ 3 t 2

L f t = L e - 1 2 t cos ⁡ 3 t 2 - 1 3 e - 1 2 t sen ⁡ 3 t 2

Então

f t = e - 1 2 t cos ⁡ 3 t 2 - 1 3 e - 1 2 t sen ⁡ 3 t 2

Assim a nossa função y vai ficar

L y = L - 1 + L t + L s s + 1 2 2 + 3 4

y = - 1 + t + e - 1 2 t cos ⁡ 3 t 2 - 1 3 e - 1 2 t sen ⁡ 3 t 2

Resposta

y = - 1 + t + e - 1 2 t cos ⁡ 3 t 2 - 1 3 e - 1 2 t sen ⁡ 3 t 2

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