Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas – Completando Quadrados

Considere a função F s = 28 s 2 + 6 s + 25 . Calcular a transformada inversa de Laplace da função F ( s ) .

( ) 7 e 3 t cos ⁡ ( 4 t )

( ) 7 e - 3 t cos ⁡ ( 4 t )

( ) 7 e - 3 t sen ⁡ ( 4 t )

( ) 7 e 3 t sen ⁡ ( 4 t )

( ) 7 e 3 t ( sen ⁡ ( 4 t ) + cos ⁡ ( 4 t ) )  

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente calcule a transformada inversa de Laplace da função F s = 2 8 s 2 + 6 s + 25

Vamos alterar esse denominador para ficar mais parecido com o que a gente tem na tabela de transformadas de Laplace:

s 2 + 6 s + 25 = s - a 2 + b 2 = s 2 - 2 a s + a 2 + b 2

6 s = - 2 a s → a = - 3

a 2 + b 2 = 25 → 9 + b 2 = 25 → b 2 = 25 - 9 = 16 → b = 4

Então, rearrumando a nossa função teremos:

F s = 28 s 2 + 6 s + 25 = 28 s + 3 2 + 4 2

Vamos, olhar para essa parte da tabela que é a mais parecida com a função que a gente quer.

Para ficar ainda mais parecida com a primeira função, podemos reescrever da seguinte forma:

F s = 7 4 s + 3 2 + 4 2

Gente, quando a questão pede transformada inversa de Laplace, a gente tem que ver qual é a função mais parecida e aí a gente começa a mexer um pouco pra ver se fica no formato até que a gente consegue as mesmas características. Dá um trabalhinho, mas pelo menos, com a tabela, a gente sabe aonde quer chegar.

Agora, vamos comparar a nossa função com a tabela e vemos que se chamarmos a = - 3 e b = 4 , temos exatamente a primeira função.

Então,

f t = L - 1 7 4 s + 3 2 + 4 2 = 7 . e - 3 t sen ⁡ ( 4 t )

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Resposta

f t = L - 1 7 4 s + 3 2 + 4 2 = 7 . e - 3 t sen ⁡ ( 4 t )

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