Exercícios Resolvidos de Translação de Corpos Rígidos

Ver Teoria

Enunciado

O carro A está viajando na velocidade constante de 60   k m / h enquanto contorna a curva circular com 300   m de raio e no instante representado está na posição θ = 45 ° . O carro B está viajando na velocidade constante de 80   k m / h e passa pelo centro do círculo neste mesmo instante. O carro A é localizado em relação ao carro B pelas coordenadas polares r e θ com o pólo se deslocando com B . Para esse instante determine a ) v A / B e os valores de b ) r ˙ e c )   θ ˙ conforme medidos por um observador no carro B .

Passo 1

O primeiro passo nesse tipo de questão é localizarmos os vetores velocidade de cada carro:

Podemos juntar os vetores v → A e v → B de modo a construir um triângulo:

Repare que como queremos o vetor velocidade relativa de A com relação a B ( v → A / B ), então ele deve começar no ponto B e chegar até o ponto A .

E qual vai ver o ângulo β ? É a soma do ângulo que tem entre o vetor v → B e o raio com o ângulo que tem entre o raio e o vetor v → A :

β = 45 ° + 90 ° = 135 °

Agora vamos aplicar a lei dos cossenos:

v A / B 2 =   v A 2 +   v B 2 - 2 v → A v → B c o s β

v A / B 2 =   80 2 +   60 2 - 2 80 60 c o s 135 °

v → A / B = 129,6   k m / h

Passo 2

Como o raio é dado em metros, vamos passar as velocidades para m / s e para isso, é só dividir por 3,6:

v → A = 60 3,6 = 16,67   m / s  

v → B = 80 3,6 = 22,22   m / s

v → A / B = 129,6 3,6 = 36 m / s

Nosso próximo passo é calcular as componentes da velocidade na coordenada polar que são as componentes radial e tangencial da velocidade relativa v → A / B .

Nas coordenadas polares temos duas componentes para a velocidade:

v r =   r ˙           e           v θ = r θ ˙

Vamos ver como fica a coordenada polar na situação inicial do nosso exercício:

Repare que o vetor v → A tem a mesma direção e sentido do vetor e θ ^ , então vamos achar o ângulo α entre os vetores v → A e v → A / B :

Para isso, vamos usar a lei dos senos:

v → A / B s e n   135 ° =   v → B s e n   α

36 s e n   135 ° =   22,22 s e n   α

α = a r c s e n ( 0,4364 )

α = 25,9 °

Passo 3

Vamos colocar o ângulo α no nosso esqueminha:

Agora, é decompor o vetor v → A / B :

v → θ = v → A / B cos ⁡ α     →           v → θ = 36 cos ⁡ ( 25,9 ° )  

v → θ = 32,39   m / s

Mas lembra que:

v θ = r θ ˙

Então:

r θ ˙ = 32,39

θ ˙ = 32,39 300

θ ˙ = 0,1079   r a d / s

E para v → r ? É só decompor v → A / B na outra direção:

v → r = v → A / B sen ⁡ α  

v → r = 36 sen ⁡ ( 25,9 ° )

v → r = - 15,72   m / s

Temos que:

v → r =   r ˙

Então:

r ˙ = - 15,72   m / s

O sinal de menos é porque o vetor v → r está no sentido contrário do eixo e r ^ da coordenada polar:

Resposta

a )   v → A / B = 129,6   k m / h     o u       v → A / B = 36   m / s    

b )   r ˙ = - 15,72   m / s

c )   θ ˙ = 0,1079   r a d / s

Exercícios de Livros Relacionados

O carrinho B se desloca para a direita com aceleração a = 2 g . Se o deslocamento angular constante da haste essbelta uniforme de massa 3 m foi verificado ser de 20 ° , determine o valor da constante
Determine o módulo P e a direção θ da força necessária para transmitir uma aceleração a = 1,5m / s 2 para trás ao carrinho de mão carregado, sem rotação a partir da posição mostrada. A massa combinada
O ciclista aciona os freios enquanto desce a inclinação de 10 ° . Que desaceleração a provocaria a condição arriscada de giro em torno da roda dianteira A? O centro de massa combinado do ciclista e da
A barra uniforme AB de 5 kg está suspensa em uma posição vertical a partir de um veículo com aceleração e é limitada pelo fio BC. Se a aceleração é a = 0,6 g , determine a tração T no fio e o módulo d
43. A extremidade A da barra se desloca para a esquerda com uma velocidade constante v A . Determine a velocidade angular ω e aceleração angular a da barra como uma função da posição x.