Exercícios Resolvidos de Translação de Corpos Rígidos

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Enunciado

Num dado instante, os carros A e B trafegam a velocidades de 30   m i / h e 20   m i / h , respectivamente. Se B tem sua velocidade aumentada a uma taxa de 1200   m i / h 2 , enquanto A se mantém com velocidade constante, determine a )   a velocidade e b )   a aceleração de B em relação a A , nesse instante.

Dados: o raio da curva é ρ = 0,3   m i ; θ = 30 °

Passo 1

Como ele quer a velocidade de B em relação a A , o que temos que fazer é nos posicionar em A e observar tudo que B está fazendo. Vamos ter o seguinte:

Você pode estar se perguntando por que não coloquei o vetor v → B / A começando em cima do carro A . É porque o carro A está se movimentando ao longo de uma reta, então posso posicionar o vetor em qualquer ponto ao longo da reta. Beleza?

Sabemos que:

v → B = v → A + v → B / A

Portanto, podemos escrever:

v → B / A = v → B - v → A

Passo 2

Para descobrir v → B / A é só acharmos as componentes de v → A e v → B nos eixos x y :

Então:

v → A = - 30 i ^ + 0 j ^   m i / h

E v → B ?

Antes de calculá-lo, vamos trabalhar com aquele ângulo θ dado no enunciado:

Assim:

v → B = - 20   s e n 30 ° )   i ^ + ( 20     c o s 30 ° j ^   m i / h

v → B = - 10 )   i ^ + ( 17,32 j ^   m i / h

Vamos fazer a soma vetorial agora:

v → B / A = v → B - v → A              

v → B / A = - 10   i ^ + 17,32 j ^ - - 30 i ^ + 0 j ^

v → B / A = 20   i ^ + 17,32 j ^   m i / h

Como a questão pediu o módulo da velocidade relativa, é só aplicarmos o teorema de Pitágoras:

v → B / A = ( 20 2 ) + ( 17,32 2 )

v → B / A = 26,5   m i / h

Passo 3

E a aceleração? O carro A realiza um movimento retilíneo e sabemos que no movimento retilíneo a aceleração é calculada derivando a velocidade com relação ao tempo:

a =   d v d t

Como a velocidade do carro A é constante, então:

a → A = 0

O carro B realiza um movimento curvilíneo, então a sua aceleração pode ter duas componentes: uma tangencial e responsável por mudar o módulo da velocidade e uma centrípeta responsável por mudar a direção.

Como no enunciado foi dito que a velocidade do carro B aumenta a uma taxa de 1200   m i / h 2 , já sabemos a componente tangencial da aceleração.

a → t = 1200   m i / h 2  

Como a velocidade do carro B aumenta, então o vetor a → t tem o mesmo sentido e direção do vetor v → B .

Sabendo que o raio da curvatura é ρ = 0,3   m i , a aceleração centrípeta vai ser calculada assim:

a → n = v B 2 ρ       →             a → n = ( 20 ) 2 0,3

a → n = 1333,33   m i / h 2

O vetor a → n sempre aponta para o centro da curva!

Vamos ter o seguinte esquema:

Passo 4

Queremos saber a aceleração de B em relação a A , não é mesmo? Então:

a → B = a → A + a → B / A

Vamos isolar o que queremos:

a → B / A = a → B - a → A

Agora, temos que decompor os vetores aceleração no eixo x y como fizemos antes com a velocidade.

O vetor a → t terá a mesma decomposição do vetor v → B , já que tem a mesma direção e mesmo sentido do mesmo:

a → t = - 1200   s e n 30 ° )   i ^ + ( 1200     c o s 30 ° j ^  

a → t = - 600 i ^ + 1039,23 j ^   m i / h 2

O vetor a → n ficará assim:

Então, a decomposição será:

a → n = 1333,33   c o s 30 ° )   i ^ + ( 1333,33   s e n 30 ° j ^

a → n = 1154,70 i ^ + 666,66 j ^   m i / h 2

O vetor aceleração do carro B será:

a → B = a → t + a → n

a → B =   - 600 i ^ + 1039,23 j ^ +   1154,70 i ^ + 666,66 j ^

a → B = ( 554,70 i ^ + 1705,89 j ^ )   m i / h 2

Passo 5

Calma, já está quase acabando! Vamos substituir as acelerações de cada carro na equação da aceleração relativa:

a → B / A = a → B - a → A

a → B / A = ( 554,70 i ^ + 1705,89 j ^ )   - 0

Então:

a → B / A = 554,70 i ^ + 1705,89 j ^   m i / h 2

Agora, vamos calcular o módulo da aceleração:

a → B / A =   ( 554,70 ) 2 + ( 1705,89 ) 2

a → B / A = 1793,8   m i / h 2

Resposta

a )   v → B / A = 26,5   m i / h    

b )   a → B / A = 1793,8   m i / h 2

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