Série de Potência

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Teoria

O que é uma Série de Potência?

Uma série de potência nada mais é do que um polinômio escrito na forma de um somatório. Por exemplo:

O detalhe das séries de potência é que o polinômio nunca tem fim, ou seja, a gente pode continuar escrevendo parcelas até o infinito. Então, uma série de potência é uma série de polinômios, ou seja, funções com infinitas parcelas e com diferentes potências que variam junto com seus coeficientes. Um somatório infinito de parcelas, que cresce variando o expoente da potência do até .

Aqui temos uma série de potência com infinitas parcelas, onde chamamos de coeficientes da série e nos exercícios vamos tentar descobrir os valores desses coeficientes.

Por exemplo, se , então a série de potência acima seria resumida dessa forma:

E se eu dissesse para você que , então teríamos que , , , ,... Logo:

Legal, né?! Séries de potência são apenas polinômios infinitos.

Definição geral de Série de Potência

As séries de potência que vimos acima são apenas exemplos. A forma geral de uma série de potência é:

EITA! Quanto símbolo! Mas aqui no RespondeAí a gente analisa isso tudo com calma.

A gente já conhece o que representa os coeficientes da série de potência e também já conhecemos o que é a variável da série de potência. A novidade é o que representa o centro da série de potência.

Então se eu te dissesse, por exemplo, que , e que ela é centrada em nossa série de potência seria resumida dessa forma:

Que é exatamente o exemplo que vimos acima.

Um outro exemplo, seria um série centrada em :

E assim por diante!

Então, vamos olhar de novo a definição da série de potência:

Então podemos dizer que:

  • : é o índice da série
  • : representa os coeficientes do polinômio
  • : é a variável
  • : é o centro da série

Representação em série de potência

TA, MAS PARA QUE EU PRECISO APRENDER SÉRIES DE POTÊNCIA?

As séries de potência são importantes, porque somos capazes de utilizá-las para replicar funções em determinados intervalos do eixo , isso é chamado de representação em série de potência. Ou seja, usando uma série de potência a gente pode aproximar uma função na forma de um polinômio.

Por exemplo, a representação em série de potência da função seno centrada em é:

Eu sei que parece algo impossível de entender, mas chegaremos lá com calma.

Agora que temos uma série de potência, a gente pode expandir ela para qualquer valor de . Quanto mais parcelas a gente utilizar na nossa representação, mais perfeita será a aproximação. E com infinitas parcelas, a representação em série de potência deve ser igual

Olha essa imagem que linda:

Exemplo de série de potência
Exemplo de série de potência

Nessa figura temos as aproximações da função seno utilizando a série de potências acima, com diferente número de parcelas, a legenda seria:

  • Em vermelho, aproximação com 1 parcela
  • Em laranja, aproximação com 3 parcelas
  • Em amarelo, aproximação com 5 parcelas
  • Em verde, aproximação com 7 parcelas
  • Em azul, aproximação com 9 parcelas
  • Em roxo, aproximação com 11 parcelas
  • Em rosa, aproximação com 13 parcelas
  • E em preto, a verdadeira função Seno

Repara que quanto mais aumentamos o número de parcelas, maior é o intervalo que nossa série de potência consegue representar da função seno. Teoricamente com infinitas parcelas, conseguiríamos representar toda a função, ou teríamos que descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência daquela série.

Ou seja para conseguirmos fazer tudo isso que estou lhe propondo, precisamos sempre estudar se a série é convergente ou divergente. E é por isso que estamos aqui.

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Exercícios

Aproveita e confere um de nossos vídeos de exercício do nosso tópico de Introdução à Série de Potência:

Encontra uma representação em série de potências para a função:

Definição geral de Série de Potência

Representação em série de potência

Exercícios

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Ache a expansão em série de potências de f x = 1 x 2 - 1 em torno de x 0 = 0 .

Passo 1

Bom, primeiro vamos reescrever f ( x ) de maneira esperta!

f x = 1 x 2 - 1 = - 1 1 - x 2

Passo 2

Veja então que f ( x ) tem a cara da função:

f x = - 1 1 - a

Com a = x 2 .

Que é exatamente a fórmula do valor da série geométrica de razão a e primeiro termo igual a - 1 .

Passo 3

Então, temos que

f x = - 1 1 - x 2 = - ∑ n = 0 ∞ x 2 n = - ∑ n = 0 ∞ x 2 n

Resposta

f x = - ∑ n = 0 ∞ x 2 n

Exercício Resolvido #2

Encontre uma representação em série de potências para a função

f x = 1 + x 1 - x

Passo 1

Para representar a função em séries de potências é bom tentar comparar a função com a série geométrica!

Então é bom escrever a função de forma que apareça um termo semelhante a:

1 1 - x

Logo, vamos ver se conseguimos escrever f ( x ) de outra forma!

f x = 1 + x 1 - x

Que pode ser rescrito como

f x = 1 + x 1 1 - x

Passo 2

O segundo cara entre parênteses é a série geométrica, certo?

1 1 - x = ∑ n = 0 x n

De forma que a gente fica com

f x = 1 + x ∑ n = 0 x n

Passo 3

Expandindo isso ficamos com

f x = ∑ n = 0 x n + x ∑ n = 0 x n = ∑ n = 0 x n + ∑ n = 0 x n + 1

Beleza! Mas dá pra simplificar mais um pouco! É só lembrar que

∑ n = 0 x n = 1 + x + x 2 + x 3 …

E

x ∑ n = 0 x n = x + x 2 + x 3 + …

De forma que x 1 , x 2 , x 3 , , vão aparecer duas vezes no nosso f ( x ) e o 1 vai aparecer só uma vez! Assim

f x = 1 + 2 ∑ n = 1 x n

Resposta

f x = 1 + 2 ∑ n = 1 x n

Exercício Resolvido #3

Encontre uma representação em série de potências para a função

f x = x 2 a 3 - x 3

Passo 1

Para representar a função em séries de potências é bom tentar comparar a função com a série geométrica!

Então é bom escrever a função de forma que apareça um termo semelhante a:

1 1 - x

Logo, vamos ver se conseguimos escrever f ( x ) de outra forma!

f x = x 2 a 3 - x 3

Para x ≠ 0 , podemos dividir o numerador e o denominador por x 2 :

f x = 1 a 3 x 2 - x

Continuamos não tendo nada que seja legal de ser comparado com a série geométrica... Então vamos fazer o seguinte,

f x = x 2 ⋅ 1 a 3 - x 3

Agora vamos escrever a fração como série de potências e multiplicar por x 2 , ficou bem mais fácil!

f x = x 2 a 3 ⋅ 1 1 - ( x / a ) 3

Passo 2

Comparando 1 1 - ( x / a ) 3 com a série geométrica, teremos

1 1 - ( x / a ) 3 = ∑ n = 0 ∞ x 3 a 3 n

Passo 3

Por fim, vamos multiplicar por x 2 / a 3 ,

f x = x 2 a 3 ⋅ 1 1 - ( x / a   ) 3

f x = x 2 a 3 ⋅ ∑ n = 0 ∞ x 3 a 3 n

f x = ∑ n = 0 ∞ x 3 n + 2 a 3 n + 1

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ x 3 n + 2 a 3 n + 1

Exercício Resolvido #4

Calcule o termo geral da expansão em série de potências de ( x - 1 ) da função abaixo

y x = 1 x 2 - 8 x + 15

Passo 1

Se queremos escrever o termo geral em série de potências de x - 1 , precisamos que apareça esse termo na nossa função. Então vamos começar escrevendo que:

x 2 - 8 x + 15 = x - 3 x - 5

E então veja que se escrevermos:

1 x 2 - 8 x + 15 = A x - 3 + B x - 5 = A x - 5 + B x - 3 x - 3 x - 5

E resolvendo o sistema:

A + B = 0

- 5 A - 3 B = 1

Encontramos: A = - 1 2 e B = 1 2 .

Reescreveremos a função assim:

1 x 2 - 8 x + 15 = - 1 2 x - 3 + 1 2 x - 5 = 1 2 1 x - 5 - 1 x - 3

Passo 2

Como queremos que apareça o termo x - 1 , vamos escrever que:

1 2 1 x - 5 - 1 x - 3 = 1 2 1 x - 1 - 4 - 1 x - 1 - 2 = 1 2 1 2 - x - 1 - 1 4 - x - 1

E agora repare que podemos escrever essa função como o valor da série geométrica, cuja razão será descoberta a seguir.

Colocando o 2 em evidencia, podemos escrever a serie a assim:

1 2 - x - 1 = 1 2 1 1 - x - 1 2

Vamos fazer a mesma coisa pro 4 :

1 4 - x - 1 = 1 4 1 1 - x - 1 4

E esses termos da forma:

1 1 - a

São exatamente a fórmula do valor da série geométrica de razão a e primeiro termo igual a 1 . Portanto, podemos escrever que:

1 2 1 1 - x - 1 2 = 1 2 ∑ n = 0 ∞ x - 1 2 n

1 4 1 1 - x - 1 4 = 1 4 ∑ n = 0 ∞ x - 1 4 n

Passo 3

E agora voltando pra expressão de y x :

1 x 2 - 8 x + 15 = 1 2 1 2 - x - 1 - 1 4 - x - 1 = 1 2 1 2 1 1 - x - 1 2 - 1 4 1 1 - x - 1 4

Agora vamos escrever a série juntando dos somatórios encontrados no passo anterior,

y x = 1 2 1 2 ∑ n = 0 ∞ x - 1 2 n - 1 4 ∑ n = 0 ∞ x - 1 4 n

E colocando o termo que queremos x - 1 n em evidência:

y x = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 2 - 1 2 2 n + 3 x - 1 n

Resposta

y x = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 2 - 1 2 2 n + 3 x - 1 n

Exercícios de Livros Relacionados

O que é uma série de potências?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.