Teoria

Continue aqui e aprenda análise nodal da melhor maneira e arrase na sua prova!

A análise nodal, ou conhecida as vezes como tensão de análise de um nó, é um método para determinar a tensão, ou diferença de potencial, entre "nós" em um circuito elétrico.

Eu vou te ensinar agora, com um passo a passo, a como fazer essa análise para 2 casos distintos.

Análise Nodal SEM fonte de tensão

Considere esse circuito elétrico abaixo:

Circuito sem fonte de tensão
Circuito sem fonte de tensão

Para encontrarmos as tensões em cada nó vamos seguir o passo a passo:

Passo 1

Identificar os nós do circuito e nomear as tensões associadas a cada um deles.

Circuito com nós identificados e tensões nomeadas
Circuito com nós identificados e tensões nomeadas

Obs.: Escolhemos o nó da terra (aqueles 3 tracinhos ali embaixo) como o nó de referência e ele tem potencial igual a .

Passo 2

Escolher o sentido das correntes.

Circuito com sentido das correntes indicado
Circuito com sentido das correntes indicado

Obs.: Aqui nesse caso a gente escolhe um sentido para corrente porque não tem um fonte de tensão. Podemos escolher o sentido que quisermos, se o sentido não for o real da corrente, o valor será negativo. Fica tranquilo. Mas, quando tiver uma fonte de tensão vamos respeitar o sentido da corrente imposto por ela, ok?

Passo 3

Aplicar a Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) em cada nó (excluindo o nó da terra)

Nó 1

Nó 2

Montando um sistema com essas duas equações, temos:

Passo 4

Utilizar a Lei de Ohm para escrever a corrente em função da tensão de cada nó.

íê

Passo 5

Agora basta a gente substituir as expressões para correntes no passo 4 no sistema encontrado no passo 3 e resolver o sistema que ficaá todo em função de e .

E prontinho, encontramos as tensões em cada nó!

Análise Nodal COM fonte de tensão

Aqui nós podemos separar em dois casos:

CASO 1: A fonte de tensão está conectada entre um nó e o terra, fazendo com que a tensão no nó seja igual a tensão da fonte.

Fonte de tensão entre o nó 1 e o nó da terra
Fonte de tensão entre o nó 1 e o nó da terra

Nesse caso, não há nenhuma conta a ser feita. No circuito acima, a fonte de tensão de está entre o nó 1 e o terra, então . Tranquilo não é?

CASO 2: Quando a fonte de tensão está conectada entre dois nós, sendo que nenhum deles é de referência (terra), isso forma o chamado SUPERNÓ.

Exemplo de um supernó em um circuito
Exemplo de um supernó em um circuito

Nesse caso, para o supernó teremos uma informação a mais: a diferença entre as tensões nos nós será igual a tensão na fonte.

Agora, o passo a passo será bem semelhante ao que vimos para sos circuitos sem fonte de tensão.

Vamos aplicar o passo a passo nesse último circuito aí.

Passo 1

Identificar os nós e nomear tensões.

Circuito com nós e tensões identificadas
Circuito com nós e tensões identificadas

Passo 2

Identificar o sentido das correntes.

Circuito com nós, tensões e correntes identificadas
Circuito com nós, tensões e correntes identificadas

Lembrando que agora precisamos obedecer o sentido das correntes imposto pelas fontes de tensão, beleza?

Passo 3

Aplicar LCK para o supernó, embrando que encaramos o surpernó como uma coisa só (não olhamos o nó 2 e nó 3 separadamente).

Passo 4

Escrever as correntes em função das tensões usando a Lei de Ohm e substituir na equação do passo 3.

Obs.: Nesse ponto, é importante percebermos que já é conhecifo: , porque a fonte está entre o nó 1 e o nó da terra.

E, usaremos a informação a mais que o supernó nos fornece para termos uma segunda equação aqui e conseguirmos montar um sistema:

Passo 5

Nosso último passo é resolver o sistema e pronto!

Conseguiu pega a dinâmica?

É importante fazer bastante exercícios pra ficar expert! 😉

Análise Nodal COM fonte de tensão

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine as correntes e a tensão v 0 .

Passo 1

Nesse exercício, a tensão nodal e as correntes já foram nomeadas. Como os elementos de cada ramo estão ligados em paralelo, cada nó do circuito terá o mesmo potencial v 0 , já que toda parte inferior do circuito está ligada ao terra, e, portanto, o potencial é conhecido (0 volts).

Passo 2

Então a primeira coisa a ser feita, é aplicar a famosa LCK para os nós.

8 = I 1 + I 2 + I 3 + 20 + I 4

I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = - 12

Passo 3

Agora vamos escrever as correntes em função da tensão nodal v 0 :

I 1 = v 0 - 0 10

I 2 = v 0 - 0 20

I 3 = v 0 - 0 30

I 4 = v 0 - 0 60

Passo 4

Substituindo as correntes na primeira equação, temos que:

v 0 10 + v 0 20 + v 0 30 + v 0 60 = - 12

Encontrando v 0 :

6 v 0 + 3 v 0 + 2 v 0 + v 0 = - 720

v 0 = - 60   V

Passo 5

Para terminar, vamos substituir o valor encontrado de v 0 nas equações das correntes:

I 1 = - 60 10 = - 6 A

I 2 = - 60 20 = - 3 A

I 3 = - 60 30 = - 2 A

I 4 = - 60 60 = - 1 A

Resposta

v 0 = - 60 V

I 1 = - 6 A

I 2 = - 3 A

I 3 = - 2 A

I 4 = - 1 A

Exercício Resolvido #2

Calcule as tensões nodais no circuito mostrado na Figura abaixo.

Passo 1

A primeira coisa a ser feita nesse método é analisar quantos nós se tem no circuito. No circuito acima existem 3 nós, sendo que os nós 1 e 2 possuem tensões desconhecidas que o exercício pede para calcular. O terceiro nó está localizado junto à terra, e, portanto, o potencial é conhecido (0 volts).

Passo 2

Agora vamos desenhar os sentidos das correntes de cada ramo do circuito e nomear as tensões de cada nó para podermos aplicar a LKC.

Equações de corrente para o nós:

i 1 + i 3 = 3           ( n ó   1 ) i 2 + 12 = i 3       ( n ó   2 )

Passo 3

Achar as equações das correntes em relação às tensões em cada resistor:

i 1 = v 1 - 0 2

i 2 = v 2 - 0 7

i 3 = v 1 - v 2 6

Passo 4

Substituindo as correntes nas duas primeiras equações, temos que:

v 1 - 0 2 + v 1 - v 2 6 = 3     v 2 - 0 7 + 12 = v 1 - v 2 6

Simplificando:

4 v 1 - v 2 = 18               7 v 1 - 13 v 2 = 504

Agora teremos que resolver esse sistema aí de cima. Há vários jeitos de resolvê-lo, mas vamos fazer assim:

Passo 5

Primeiro vamos multiplicar a primeira equação por (-13) e o resultado somaremos com a segunda:

- 52 v 1 + 13 v 2 = - 234   7 v 1 - 13 v 2 = 504              

- 45 v 1 + 0 = 270

v 1 = - 6   V

Em seguida, substituiremos o valor encontrado de v 1 na segunda equação:

7 v 1 - 13 v 2 = 504

7 - 6 - 13 v 2 = 504

v 2 = - 42

Prontinho, só sucesso!

Resposta

v 1 = - 6   V

v 2 = - 42   V

Exercício Resolvido #3

Escreva as equações nodais usando a abordagem geral para o circuito da figura e resolva:

Passo 1

Primeiro, vamos identificar os nós e o terra:

Passo 2

Vamos identificar as correntes que entram e saem dos nós A e B:

Como vimos que as fontes de corrente estão direcionando as correntes I 1 e I 2 para entrar no nó de terra, vamos direcionar as correntes I 3 e I 4 saindo do nó de referência, pois como sabemos a soma das correntes que entram no nó deve ser igual a soma das correntes que saem do nó.

No caso da corrente I 5 , escolhemos a corrente no sentido que desejamos.

Passo 3

Através da LKC, as equações para cada nó são:

Nó A:

I 1 +   I 5 = I 3

Pela Lei de Ohm, sabemos que a corrente é igual a tensão em cima do resistor dividido pelo valor da resistência:

I =   V R

No caso da corrente saindo de um nó e entrando em outro, devemos colocar que a tensão é a diferença das tensões do nó de saída da corrente e a tensão do nó de entrada da corrente:

I 5 =   V a -   V b R 3

Logo, substituindo na equação I 1 +   I 5 = I 3 :

5 + V a -   V b R 3 = 0 - V a R 1

V a 2 + 5 + V a -   V b 8 = 0

Nó B:

I 4 +   I 5 = I 2

  0 - V b R 2 + V a -   V b R 3 = 3

- V b 4 + V a -   V b 8 - 3 = 0

Passo 4

Encontramos então o sistema:

V a 2 + 5 + V a -   V b 8 = 0

- V b 4 + V a -   V b 8 - 3 = 0

Subtraindo da primeira equação a segunda equação:

V a 2 + 8 + V b 4 = 0

Multiplicando tudo por 4:

2 V a + 32 +   V b = 0

V b = - 2 V a - 32

Passo 5

Substituindo na primeira equação:

V a 2 + 5 + V a -   V b 8 = 0

V a 2 + 5 + V a 8 - ( - 2 V a - 32 ) 8 = 0

Multiplicando tudo por 8:

4 V a + 40 + V a - ( - 2 V a - 32 ) = 0

7 V a + 72 = 0

7 V a = - 72

V a = - 10,29 V

Passo 6

Substituindo V a = - 10,29 V na seguinte equação:

V b = - 2 V a - 32

V b = - 2 ( - 10,29 ) - 32

V b = - 11,42 V

Ai já encontramos as tensões nodais que era desde o início o nosso objetivo!

Resposta

V a = - 10,29 V

V b = - 11,42 V

Exercício Resolvido #4

Obtenha v 0 no circuito a figura abaixo:

Passo 1

Vamos com calma. No circuito acima, temos apenas dois nós:

Escolhendo o nó 2 como referência, fazemos com que a tensão no nó 1 seja o próprio potencial v 0 , já que o circuito é paralelo. Além disso, vamos escolher os sentidos das correntes:

Aplicando a LKC no nó 1:

i 3 = i 1 + i 2

Passo 2

Agora vamos escrever nossas correntes em função da tensão no nó:

- 2000 i 1 + 30 = v 0 - 5000 i 2 + 20 = v 0 4000 i 3 = v 0

Isolando as correntes:

i 1 = - ( v 0 - 30 ) 2000

i 2 = - ( v 0 - 20 ) 5000

i 3 =   v 0 4000

Passo 3

Substituindo as correntes:

v 0 4000 = - ( v 0 - 30 ) 2000   – ( v 0 - 20 ) 5000

Simplificando e isolando v 0 :

5 v 0 = - 10 v 0 + 300 - 4 v 0 + 80

19 v 0 = 380

v 0 = 20   V

Resposta

v 0 = 20   V

Exercício Resolvido #5

Determine I 0 e as tensões nodais:

Passo 1

Vamos começar! No circuito acima existem 4 nós.

Agora, vamos escolher o nó 4 como o terra, nomear as tensões de cada nó e desenhar os sentidos das correntes de cada ramo do circuito para podermos aplicar a LCK.

Passo 2

Equações de corrente para os nós:

I 0 + 4 = I 1 2 I 0 + I 3 = 4 I 1 + I 2 = 2 I 0

Passo 3

Achar as equações das correntes em relação às tensões em cada resistor:

I 0 = v 1 8

I 1 = v 3 - v 1 1

I 2 = v 3 4

I 3 = v 2 2

Passo 4

Agora vamos substituir no sistema de 3 equações aquelas encontradas para cada corrente:

v 1 8 + 4 = v 3 - v 1 1 2 v 1 8 + v 2 2 = 4 v 3 - v 1 1 + v 3 4 = 2 v 1 8

Simplificando:

- 9 v 1 + 8 v 3 = 32 v 1 + 2 v 2 = 16 v 1 = v 3

Passo 5

Agora teremos que resolver esse sistema aí de cima. Primeiro vamos substituir v 3 por v 1 na primeira equação:

- 9 v 1 + 8 v 1 = 32

v 1 = - 32   V

Como, v 1 = v 3 :

v 3 = - 32   V

Substituindo o valor encontrado de v 1 na segunda equação:

- 32 + 2 v 2 = 16

v 2 = 24   V

Passo 6

Para terminar, falta encontrarmos o valor de I 0 :

I 0 = v 1 8 = - 32 8 = - 4 A

Resposta

I 0 = - 4 A

v 1 = - 32   V

v 2 = 24   V

v 3 = - 32   V

Exercício Resolvido #6

Determinar V 0

Passo 1

Queremos encontrar a tensão nodal V 0 que se encontra no nó 1, pois já sabemos o potencial do nó 2, que é o terra (0 volts). Para isso, vamos desenhar os sentidos das correntes de cada ramo do circuito e aplicar a LCK.

Equação de corrente para o nó 1:

i 1 = i 0 + i 2

Passo 2

Agora vamos escrever nossas correntes em função da tensão nodal:

i 0 = V 0 12

i 1 = 60 - V 0 12

i 2 = V 0 - ( - 24 ) 6 = V 0 + 24 6

Se ficar na dúvida, é só aplicar a lei das tensões de Kirchhoff, por exemplo, na malha da direita:

V 0 - 6 i 2 + 24 = 0

i 2 = V 0 + 24 6

Passo 3

Substituindo na primeira equação:

60 - V 0 12 = V 0 12 + V 0 + 24 6

Simplificando:

60 - V 0 = V 0 + 2 V 0 + 48

4 V 0 = 12 V

V 0 = 3   V

Resposta

V 0 = 3   V

Exercício Resolvido #7

Determine V 0 .

Passo 1

No circuito abaixo, os nós 1 e 2 possuem tensões desconhecias, já que o terceiro está ligado ao terra.

Passo 2

Agora vamos desenhar os sentidos das correntes de cada ramo do circuito e nomear as tensões de cada nó para podermos aplicar a lei das correntes de Kirchhoff.

Além disso, a tensão nodal v 2 tem própria tensão que se pede no exercício.

Equações de corrente para o nós:

I x = i 1 + i 2 4 I x = i 1 + i 0

Passo 3

Achar as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i 0 = V 0 10

i 1 = V 0 - v 1 10

i 2 = 40 - v 1 20

I x = v 1 20

Passo 4

Substituindo as correntes nas equações de corrente de cada nó:

v 1 20 = V 0 - v 1 10 + 40 - v 1 20 4 v 1 20 = V 0 - v 1 10 + V 0 10

Simplificando:

4 v 1 - 2 V 0 = 40 3 v 1 - 2 V 0 = 0

Passo 5

Isolando v 1 na segunda equação e substituindo na outra, temos:

v 1 = 2 V 0 3

4 2 V 0 3 - 2 V 0 = 40

V 0 = 60   V

Pronto!

Resposta

V 0 = 60   V

Exercício Resolvido #8

Usando análise nodal, determine v 0 no circuito abaixo:

Passo 1

Bora lá! No circuito acima, temos apenas 3 nós.

Escolhendo o nó 3 como referência (terra), fazemos com que a tensão no nó 2 seja o próprio potencial v 0 . Além disso, vamos escolher os sentidos das corretes e nomear a tensão do nó 1:

Passo 2

Aplicando a LCK, temos as seguintes equações de corrente para o nós:

i 1 = i 2 + 12,5                           i 2 + 12,5 = i 0 + i 3          

Passo 3

Achar as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i 0 = v 0 - 0 4

i 1 = 100 - v 1 1

i 2 = v 1 - v 0 2

i 3 = v 0 + 50 8

Passo 4

Substituindo as correntes nas duas primeiras equações, temos que:

100 - v 1 1 = v 1 - v 0 2 + 12,5 v 1 - v 0 2 + 12,5 = v 0 4 + v 0 + 50 8

Simplificando:

v 0 - 3 v 1 = - 175 - 7 v 0 + 4 v 1 = - 50

Passo 5

Agora teremos que resolver esse sistema aí de cima. Primeiro vamos isolar v 1 na primeira equação:

v 1 = 175 + v 0 3

Em seguida, substituir na segunda equação:

- 7 v 0 + 4 175 + v 0 3 = - 50

17 v 0 = 850

v 0 = 50   V

Resposta

v 0 = 50   V

Exercício Resolvido #9

Calcular v e i no circuito abaixo:

Passo 1

No circuito acima, ao escolhermos o nó inferior como referência, teremos uma fonte de tensão entre dois nós, formando um supernó. Não se preocupe, vamos com calma.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os sentidos das corretes e nomear as tensões de cada nó para aplicarmos a LCK:

Aplicando a LCK ao supernó, temos a seguinte equação:

i + i 1 + i 2 = i 3

Passo 3

Achar as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i = v 2 2

i 1 = v 3

i 2 = v 2 6

i 3 = 14 - v 4

Passo 4

Substituindo as correntes na primeira equação, teremos que:

v 2 2 + v 3 + v 2 6 = 14 - v 4

Simplificando:

7 v + 8 v 2 = 42

Passo 5

Temos duas incógnitas e apenas uma equação. Precisamos encontrar uma outra equação que relacione v e v 2 .

Para isso, vamos aplicar a lei das tensões de Kirchhoff para o supernó:

Percorrendo o laço:

- v - 6 + v 2 = 0

- v + v 2 = 6

Passo 6

Pronto, agora que temos duas equações para as duas incógnitas, vamos resolver esse sistema aí de baixo:

7 v + 8 v 2 = 42 - v + v 2 = 6        

Primeiro vamos isolar v 2 na segunda equação:

v 2 = 6 + v

Em seguida, substituir na primeira equação:

7 v + 8 6 + v = 42

15 v = - 6

v = - 0,4   V

Logo:

v 2 = 5,6   V

Então, se liga! Sempre que aparecer um supernó é esse o procedimento: Aplicar a LCK e a LTK!

Passo 7

Agora, para terminar, precisamos encontrar i :

i = v 2 2 = 5,6 2 = 2,8   A

Resposta

v = - 0,4   V

i = 2,8   A

Exercício Resolvido #10

Determine as tensões nodais no circuito abaixo:

Passo 1

No circuito acima, os nós já estão identificados. O nó inferior está ligado ao terra e entre os nós 1 e 3 temos uma fonte de tensão formando um supernó. Relaxa, vamos ver o que fazer para esse caso ;)

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os sentidos das corretes e nomear as tensões de cada nó para aplicarmos a LCK:

Aplicando a LKC ao supernó, temos a seguinte equação de corrente:

i 2 + i 4 = i 1 + i 3

Agora o mesmo para o nó 2:

15 = i 2 + i 4

Passo 3

Achar as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i 1 = v 1 4

i 2 = v 2 - v 1 2

i 3 = v 3 8

i 4 = v 2 - v 3 2

Passo 4

Substituindo as correntes nas duas primeiras equações, temos que:

v 2 - v 1 2 + v 2 - v 3 2 = v 1 4 + v 3 8 15 = v 2 - v 1 2 + v 2 - v 3 2                  

Simplificando:

- 6 v 1 + 8 v 2 - 5 v 3 = 0 - v 1 + 2 v 2 - v 3 = 30    

Passo 5

Temos três incógnitas e apenas duas equações. Precisamos encontrar uma outra equação que relacione v 1 , v 2 e v 3 . Para isso, vamos aplicar a lei das tensões de Kirchhoff para o supernó:

Percorrendo o laço:

- v 1 - 30 + v 3 = 0

- v 1 + v 3 = 30

Passo 6

Pronto, agora que temos três equações para as três incógnitas, vamos resolver esse sistema aí de baixo:

- 6 v 1 + 8 v 2 - 5 v 3 = 0 - v 1 + 2 v 2 - v 3 = 30     - v 1 + 0 v 2 + v 3 = 30    

Primeiro vamos isolar v 3 na terceira equação:

v 3 = 30 + v 1

Em seguida, substituir na primeira equação:

- 6 v 1 + 8 v 2 - 5 ( 30 + v 1 ) = 0

Simplificando:

- 11 v 1 + 8 v 2 = 150

E agora na segunda:

- v 1 + 2 v 2 - ( 30 + v 1 ) = 30  

Simplificando:

- 2 v 1 + 2 v 2 = 60

Passo 7

Agora, temos o seguinte sistema formado por essas duas novas equações:

- 11 v 1 + 8 v 2 = 150 - 2 v 1 + 2 v 2 = 60

Para resolver esse sistema vamos multipicar a segunda equação por (-4) e o resultado somaremos com a primeira:

3 v 1 = 90

v 1 = 30   V

Substituindo na segunda equação:

- 2 ( 30 ) + 2 v 2 = 60

v 2 = 60   V

Passo 8

Calma, já está quase acabando, falta encontrarmos v 3 .

Sabemos que:

- v 1 + v 3 = 30

Substituindo o valor encontrado para v 1 :

- 30 + v 3 = 30

v 3 = 60   V

Ufa! Acabou!

Resposta

v 1 = 30   V

v 2 = 60   V

v 3 = 60   V

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