Equações de Maxwell

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Teoria

As Equações de Maxwell, ou Leis de Maxwell são um conjunto de equações que descrevem o comportamento dos campos elétricos e magnéticos, como eles são gerados e qual a relação entre eles.

Indo direto ao ponto, as Equações de Maxwell podem ser escrita das seguintes formas:

Equações de Maxwell: Resumo
Equações de Maxwell: Resumo

-Beleza, mas esse monte de fórmula significa? E pra que que servem as Leis de Maxwell?

Calma, a gente vai entender tudo, timtim por timtim! Se liga nesse vídeozinho super completo sobre as Leis de Maxwell! 👇 🧡

Ou, se você preferir, continua comigo no textinho!

Lei de Gauss

A lei de Gauss nos dá a relação entre um campo elétrico gerado por cargas elétricas. Pra ficar mais claro, você pode imaginar uma superfície fechada com uma carga elétrica dentro, assim:

Lei de Gauss: Superfície Fechada
Lei de Gauss: Superfície Fechada

A forma integral da lei de Gauss é:

Onde:

  • é o campo elétrico gerado por ;
  • é a diferencial da superfície fechada ;
  • é o somatório de cargas dentro da superfície fechada;
  • é a permissividade no vácuo, igual a

Ah, também temos algumas equações auxiliares que podem ajudar nos exercícios:

Podemos também escrever a Lei de Gauss na sua forma diferencial:

No vácuo teremos então podemos simplificar:

Lei de Gauss para o Magnetismo

A lei de Gauss para o Magnetismo diz que o Fluxo Magnético através da região de área é será sempre nulo.

O raciocínio é bem parecido com a lei de Gauss, mas dessa vez colocamos um imã em uma superfície fechada e analisamos o campo magnético gerado:

Lei de Gauss para o Magnetismo
Lei de Gauss para o Magnetismo

O fluxo magnético será nulo, na prática, isso nos diz que não existem polos magnéticos isolados, ou seja, sempre que tivermos um polo norte, teremos um polo sul.

Sua equação na forma integral é dada por:

Podemos também escrever a Lei de Gauss para o Magnetismo na sua forma diferencial:

Basicamente estamos dizendo que o divergente de é sempre igual a zero.

Lei de Faraday-Lenz

A lei de Faraday descreve a relação entre o campo elétrico e o campo magnético. Na prática um campo magnético que varia ao longo do tempo gera um campo elétrico. Esse princípio é utilizado nos geradores elétricos!

A forma integral da Lei de Faraday-Lenz é dada por:

Podemos escrever também a sua forma diferencial:

Lei de Ampère-Maxwell

A lei de Ampère-Maxwell é uma junção da Lei de Ampère com uma correção de Maxwell. Dessa forma, a lei de Ampère afirma que campos magnéticos podem ser gerados através de correntes elétricas e segundo Maxwell e os campos magnéticos também podem ser gerados por campos elétricos que variam ao longo do tempo.

Podemos escrever a Lei de Ampère-Maxwell na sua forma integral:

Ou na sua forma diferencial:

No vácuo temos , então podemos simplificar a Lei de Ampère-Maxwell:

Agora vamos praticar com exercícios?!

Lei de Gauss

Lei de Gauss para o Magnetismo

Lei de Faraday-Lenz

Lei de Ampère-Maxwell

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Encontre a forma integral das equacões abaixo: ∮ E → . d A → = q ε 0 ∮ B → . d l → = μ 0 I

Passo 1

Um bom caminho para chegar a forma integral é lembrar que os dois lados da equação precisam ter integrais.

Se a gente lembrar que:

q = ∫ ρ d V

É só substituir e aí:

∮ E → . d A → = 1 ε 0 ∫ ρ d V

Passo 2

Para a outra equacão a gente vai seguir a mesma ideia.

Podemos usar essa equação da corrente:

I = ∫ J → . d A → + ε 0 d ∅ E d t

Aí é só substituir na equação principal e encontramos: ∮ B → . d l → =   μ 0 ( ∫ J → . d A → + ε 0 d ∅ E d t )

Mas se liga, não terminamos. Faltou UMA INTEGRAL no lado direito.

Calma aí que é só a gente lembrar que o fluxo do camplo elétrico é:

∅ E = ∫ E . → d A →

Então substituímos na equação que encontramos e aí temos:

∮ B → . d l → =   μ 0 ( ∫ J → . d A → + ε 0 d d t ∫ E . → d A → )

Resposta

∮ E → . d A → = 1 ε 0 ∫ ρ d V

∮ B → . d l → =   μ 0 ( ∫ J → . d A → + ε 0 d d t ∫ E . → d A → )

Exercício Resolvido #2

Use os operadores diferenciais e os teoremas da divergência e de stokes para passar as equacões de Maxwell abaixo para a forma diferencial. ∮ B → . d A → = 0 ∮ E → . d l → = - d ϕ B d t  

Passo 1

Precisamos chegar a forma diferencial. Um bom caminho é pensar que devemos chegar em uma derivada.

Para a primeira equação, a gente pode usar o teorema da divergência:

∮ B → . d A → = ∫ ∇ → . B →   d V

Lembrando que pode ser usado para qualquer vetor, mas aqui vamos usar para o campo magnético que é o que nos interessa.

Como:

∮ B → . d A → = 0

Temos que :

∫ ∇ → . B →   d V = 0

Derivando os dois lados teremos enfim:

∇ → . B → = 0

Passo 2

Para a outra equacão, a gente vai seguir uma idéia parecida, mas antes precisamos colocar a equação na forma integral. Então vamos lembrar que o fluxo magnético é:

ϕ B = ∫ B → . d A →

Assim, a gente substitui na equação e chegamos na forma integral:

∮ E → . d l → = - d d t ∫ B → . d A →  

Putz, e agora? De um lado temos o integrante   d l → e do outro o integrante   d A → . Como a gente deriva isso?

Fica tranquilo, podemos usar o teorema de STOKES para resolver essa parada.

Passo 3

O teorema de stokes diz que:

∮ E → . d l → = ∫ ∇ → × E → .   d A →

Lembrando que esse teorema serve para QUALQUER VETOR, mas no nosso caso interessa usarmos para o campo elétrico.

Se a gente substituir na equação da forma integral, encontraremos algo assim:

∫ ∇ → × E → .   d A → = - d d t ∫ B → . d A →  

Golaço! Conseguimos colocar os dois lados da equação com o mesmo integrante. Agora precisamos derivar, mas primeiro passaremos o d d t para dentro da integral.

∫ ∇ → × E → .   d A → = - ∫ ∂ B → ∂ t . d A →  

Derivando os dois lados da equação, teremos enfim:

∇ → × E → = - ∂ B → ∂ t

Resposta

∇ → . B → = 0

∇ → × E → =   -   ∂ B → ∂ t

Exercício Resolvido #3

Use os operadores diferenciais e os teoremas de Gauss e Stokes para passar as leis de Maxwell abaixo para a forma diferencial. (Qint ≡ Qsaldo)

(a )   ∮ E → . d A → = Q i n t ε 0 onde Q i n t = ∫ ρ d V e ρ = d q d V

(b ) ∮ B → . d l → = μ 0 ∫ j → . d A → + μ 0 ε 0   ∫ ∂ E → ∂ t . d A →

Passo 1

Nessa questão vamos ter que gastar os nossos conhecimentos de cálculo para resolve-las.

Podemos relacionar as seguintes equações

∮ E → . d A → = Q i n t ε 0 , Q i n t = ∫ ρ d V

E chegaremos na seguinte fórmula

∮ E → . d A → = ∫ ρ ε 0 d V

Mas objetivo da questão é que cheguemos na forma diferencial das leis de Maxwell e para isso precisamos dos teoremas de Gauss e Stokes.

Nesse caso podemos usar o teorema de Gauss, que é dado pela fórmula

∮ E → . d A → = ∫ ( ∇ . E → ) d V

Relacionando as duas fórmulas que temos, encontramos que

∫ ( ∇ . E → ) d V = ∫ ρ ε 0 d V

Podemos perceber que os dois fatores são integrais do volume, podemos escrever isso da seguinte forma

∫ ( ∇ . E → ) d V - ∫ ρ ε 0 d V = 0

∫ ( ∇ . E → - ρ ε 0 ) d V = 0

Agora pensa comigo, como o nosso volume é continuo e conexo, o único fator que pode zerar essa integral é o valor dentro do parênteses, ou seja, quando

∇ . E → - ρ ε 0 = 0

Por fim

∇ . E → = ρ ε 0

Passo 2

Agora devemos passar a seguinte fórmula para a forma diferencial, e como já sabemos, vamos gastar nossos conhecimentos de cálculo para isso

∮ B → . d l → = μ 0 ∫ j → . d A → + μ 0 ε 0   ∫ ∂ E → ∂ t . d A →

Nesse caso temos que lembrar que do teorema de Stokes temos a seguinte relação

∮ B → . d l → = ∫ ( ∇ x B → ) d A →

Relacionando o nosso teorema de Stokes com a fórmula de Maxwell teremos que

∫ ( ∇ x B → ) d A → = μ 0 ∫ j → . d A → + μ 0 ε 0   ∫ ∂ E → ∂ t . d A →

Perceba que assim como na lei de Gauss todos os termos ficaram em função do volume, no teorema de Stokes todos ficaram em função da área, logo podemos isolar todos de um lado e junta-los da seguinte forma

∫ ( ∇ x B → ) d A → - μ 0 ∫ j → . d A → - μ 0 ε 0   ∫ ∂ E → ∂ t . d A → = 0

∫ ( ∇ x B → - μ 0 . j → - μ 0 ε 0 . ∂ E → ∂ t ) d A → = 0

Agora pensa comigo, se d A → é uma superfície elementos simplesmente convexa e não nula, significa que apenas o tema dentro do parênteses pode ser capaz de zerar essa equação, ou seja,

∇ x B → - μ 0 . j → - μ 0 ε 0 . ∂ E → ∂ t = 0

∇ x B → = μ 0 . j → + μ 0 ε 0 . ∂ E → ∂ t

Resposta

a) ∇ . E → = ρ ε 0

b) ∇ x B → = μ 0 . j → + μ 0 ε 0 . ∂ E → ∂ t

Exercício Resolvido #4

A partir das equações de Maxwell no vácuo, encontre a equação diferencial de onda para o campo elétrico E → .

Passo 1

Nessa questão de quer que usemos nossos conhecimentos de cálculo e Física3 e dessa forma determinarmos qual a fórmula diferencial de onda, nesse caso, para o campo E → , mas sabemos que ele também poderia pedir a do campo magnético, mas vamos focar no campo elétrico.

Sabemos que a lei de Faraday-lenz é dada pela formula

∇ × E → = - d B → d t

Vamos aplicar o operador Rotacional de ambos os lados da lei de Faraday-Lenz

∇ × ∇ × E → = ∇ × - d B → d t

Passo 2

Podemos escrever o seguinte termo, rotacional do rotacional

∇ × ∇ × E →

Em termos do gradiente, e a nova fórmula será

∇ × ∇ × E → = ∇ ∇ . E → - ∇ 2 E →

Dessa forma o nosso calculo ficou em termos do operador laplaciano

E para esse caso o nosso termo ∇ . E → será igual a zero

Dessa forma o nosso termo principal ficará assim

- ∇ 2 E → = ∇ × - d B → d t

∇ 2 E → = ∇ × d B → d t

Passo 3

Mas perceba que podemos fazer uma inversão entre a operação de derivada temporal d … d t com o operador rotacional , teremos então

∇ 2 E → = d d t ∇ × B →

Olha que interessante, você lembra qual a fórmula da equação de ampère-Maxwell para o vácuo?

∇   → ×   B → = μ 0 ε 0 ∂ E → ∂ t

Substituindo na equação anterior teremos

∇ 2 E → = d d t μ 0 ε 0 ∂ E → ∂ t

Por fim teremos

∇ 2 E → = μ 0 ε 0 ∂ ² E → ∂ t ²

Podemos ainda escrever a nossa equação de onda da seguinte forma

∇ 2 E → - μ 0 ε 0 ∂ ² E → ∂ t 2 = 0

Resposta

a) ∇ 2 E → - μ 0 ε 0 ∂ ² E → ∂ t 2 = 0

Exercício Resolvido #5

Usando a identidade vetorial:

∇ → ×   ∇ → × F → = - ∇ 2   F → + ∇ → (   ∇ → . F → )  

Mostre que o campo magnético satisfaz a equação da onda.

Passo 1

Primeiro, bora substituir o campo magnético nessa identidade vetorial, que vai ficar assim:

∇ → ×   ∇ → × B → = - ∇ 2   B → + ∇ → (   ∇ → . B → )  

Se a gente analisar legal essa equação, vamos ver algumas equações de Maxwell que podemos substituir, sendo elas:

∇ → . B → = 0

E:

∇ → × B → = μ 0 ε 0 ∂ E → ∂ t

Substituindo na equação teremos algo assim:

∇ → × (   μ 0 ε 0 ∂ E → ∂ t )   = - ∇ 2   B →

Passo 2

Vamos arrumar essa equação agora. Primeiro, podemos inverter a ordem do rotacional pelas constantes e pela derivada no produto vetorial. A equação vai ficar com essa cara:

μ 0 ε 0 ∂ ∂ t   ( ∇ → × E → )   = - ∇ 2   B →

Agora se liga, outra equação de Maxwell na forma diferencial apareceu com essa arrumação.

Essa aqui:

∇ → × E → = - ∂ B → ∂ t

Substituindo na nossa equação:

μ 0 ε 0 ∂ ∂ t     ( - ∂ B → ∂ t   )   = - ∇ 2   B →

Arrumando melhor:

- μ 0 ε 0   ( ∂ 2 B → ∂ t 2 )   = - ∇ 2   B →

E arrumando para ficar com a cara da equação da onda:

- μ 0 ε 0   ∂ 2 B → ∂ t 2 + ∇ 2   B → = 0

Pronto, chegamos na equação da onda. Agora a gente pode arrumar isso um pouco melhor, lembrando que:

μ 0 ε 0 = 1 c 2

E enfim:

- 1 c 2   ∂ 2 B → ∂ t 2 + ∇ 2   B → = 0

Resposta

- 1 c 2   ∂ 2 B → ∂ t 2 + ∇ 2   B → = 0

Exercício Resolvido #6

O campo elétrico de uma onda eletromagnética no vácuo é dado por E → = E x i ^ + E y j ^ com

E x = - E 1 cos ⁡ ω t - β x + y ,

E y = E 2 cos ⁡ ω t - β x + y

Onde E 1 , E 2 β e ω são constante positivas. O valor máximo atingido pelo módulo do campo elétrico E → = E x 2 + E y 2 = E 0 .

  1. Use a forma diferencial da lei de Gauss para determinar E 1 e E 2 em termos de E 0 .
  2. Sabendo que o campo elétrico satisfaz a equação de onda tridimensional, determine a constante β em termos da velocidade da luz no vácuo c e ω ;
  3. Use a forma diferencial da lei de Faraday para determinar o campo magnético associado ao campo elétrico dado em termos de E 0 , ω e da velocidade da luz no vácuo c .

Passo 1

  1. Use a forma diferencial da lei de Gauss para determinar E 1 e E 2 em termos de E 0 .
  2. A forma diferencial da Lei de Gauss é dada por:

    ∇ ∙ E → = ρ ϵ 0

    ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y + ∂ E z ∂ z = ρ ϵ 0

    Porém temos duas considerações a fazer:

  • O campo elétrico não tem componente no eixo z . Logo, E z = 0 , e sua derivada se anula.
  • No vácuo, nós não temos cargas. Isso significa que a densidade de cargas é nula ρ = 0 .

∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y = 0

E 2 - E 1 β sen ⁡ ω t - β x + y = 0

E 2 - E 1 = 0

E 1 = E 2

Usando o que o problema nos disse:

E x 2 + E y 2 = E 0

E 1 2 + E 2 2 = E 0

E 1 2 = E 0

E 1 = E 2 = E 0 2

Passo 2

  • Sabendo que o campo elétrico satisfaz a equação de onda tridimensional, determine a constante β em termos da velocidade da luz no vácuo c e ω ;
  • Quando a onda eletromagnética se propaga paralelamente a um dos eixos, ela segue a equação de ondas unidimensionais:

    ∂ 2 E ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 E ∂ t 2

    Onde v = c é a velocidade da luz no vácuo (no caso dela se propagando no vácuo). Mas o enunciado nos diz que o campo satisfaz a equação de onda tridimensional!

    A equação de ondas tridimensional é a forma mais geral, que é quando a onda se propaga em uma direção qualquer e por isso derivamos o campo elétrico em relação a todos os eixos!

    ∇ 2 E → = 1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t 2       →       ∇ 2 E → - 1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t 2 = 0

    Onde ∇ 2 E → é uma forma compacta (arquivo .zip) de escrever o seguinte:

    ∇ 2 E → = ∂ 2 E → ∂ x 2 + ∂ 2 E → ∂ y 2 + ∂ 2 E → ∂ z 2

    Como o campo elétrico, agora, teria ele próprio três componentes (ele não é paralelo a nenhum eixo), colocamos a setinha nele e a nossa equação é um resumo das três equações:

    ∇ 2 E x - 1 c 2 ∂ 2 E x ∂ t 2 = 0 ;     ∇ 2 E y - 1 c 2 ∂ 2 E y ∂ t 2 = 0 ;     ∇ 2 E z - 1 c 2 ∂ 2 E z ∂ t 2 = 0

    Juntas em uma! São muitas compactações e resumo, né não? (Não, é preguiça de escrever mesmo, sou sincero)

    Como o campo elétrico só tem as componentes E x e E y , vamos ter só as duas equações:

    ∇ 2 E x - 1 c 2 ∂ 2 E x ∂ t 2 = 0 ;     ∇ 2 E y - 1 c 2 ∂ 2 E y ∂ t 2 = 0

    Vamos abrir a equação em E x .

    ∂ 2 E x ∂ x 2 + ∂ 2 E x ∂ y 2 + ∂ 2 E x ∂ z 2 - 1 c 2 ∂ 2 E x ∂ t 2 = 0

    Como E x não varia com z :

    ∂ 2 E x ∂ z 2 = 0

    Além disso, a derivada segunda em relação a x , y e t vão ser:

    ∂ 2 E x ∂ x 2 = ∂ ∂ x - β E 1 sen ⁡ ω t - β x + y = β 2 E 1 cos ⁡ ω t - β x + y ∂ 2 E x ∂ y 2 = β 2 E 1 cos ⁡ ω t - β x + y ∂ 2 E x ∂ t 2 = ∂ ∂ t ω E 1 sen ⁡ ω t - β x + y = ω 2 E 1 cos ⁡ ω t - β x + y

    Agora vamos jogar TUDO isso na equação, e teremos:

    β 2 E 1 cos ⁡ ω t - β x + y + β 2 E 1 cos ⁡ ω t - β x + y - ω 2 c 2 E 1 cos ⁡ ω t - β x + y = 0

    2 β 2 - ω 2 c 2 E 1 cos ⁡ ω t - β x + y = 0

    2 β 2 - ω 2 c 2 = 0

    β = ω 2 c

    Poderíamos fazer a mesma coisa com a componente E y , mas eu já vou te adiantar, pra evitar a trabalheira, que embora a equação mude um pouco, o resultado vai ser o mesmo. (só muda um sinalzinho aqui e ali).

    Passo 3

  • Use a forma diferencial da lei de Faraday para determinar o campo magnético associado ao campo elétrico dado em termos de E 0 , ω e da velocidade da luz no vácuo c .
  • A forma diferencial da Lei de Faraday é dada por:

    - ∂ B → ∂ t = ∇ × E → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z E x E y 0 = ∂ E y ∂ x - ∂ E x ∂ y k ^

    - ∂ B → ∂ t = 2 E 0 β sen ⁡ ω t - β x + y k ^

    ∂ B → = - 2 E 0 β sen ⁡ ω t - β x + y ∂ t   k ^

    Agora só temos que integrar os dois lados:

    B → = 2 E 0 β ω cos ⁡ ω t - β x + y k ^

    B → = E 0 c cos ⁡ ω t - x + y 2 c k ^

    Resposta

    a.

    E 1 = E 2 = E 0 2

    b.

    β = ω 2 c

    c.

    B → = E 0 c cos ⁡ ω t - x + y 2 c k ^

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