Fórmula do Cisalhamento

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Teoria

Introdução

Nos assuntos anteriores, nós vimos:

Como cargas axiais em uma peça geram nela forças internas normais N e tensões normais σ = N / A :

E como torques em uma peça geram nela torques internos T (ou momentos torsores M T ), que geram na peça tensões cisalhantes τ de acordo com a fórmula da torção:

Além disso, também vimos:

Como as cargas transversais em uma viga geram nela forças cortantes/cisalhantes V e momentos fletores M F l :

Sendo que quanto a esse momento fletor M F l , vimos que ele gera tensões normais σ de acordo com a fórmula da flexão:

Então agora, só tá faltando para a gente a última peça do “quebra-cabeça” de resistência dos materiais:

Que é: como são as tensões causadas pela força cortante V em uma peça?

De cara, como a própria força cortante V é chamada também de força de cisalhamento, dá para concluir que essas tensões vão ser tensões cisalhantes τ (“tau”).

Mas como podemos descrever essas tensões τ ?

Exemplo

Para ilustrar essa pergunta, vamos usar um exemplo:

Vamos dizer que, em uma questão da sua prova, você precisa determinar a tensão máxima causada pela força cortante na viga em “ I ” abaixo:

Avaliando os esforços internos nessa viga, você descobre que a força cortante V máxima nela ocorre no trecho inicial, onde V = 10   k N :

Mas e agora? 🤔

Como podemos descrever as tensões τ causadas por essa força cisalhante V ?

Fórmula do Cisalhamento

A solução está em usar a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t       ou       τ = V S I z z b

(dependendo dos seus professores.)

Essa fórmula fornece a tensão de cisalhamento τ causada pela força cortante V em uma dada fibra de uma seção transversal:

Sendo que nessa fórmula:

  • Q ou S é o momento estático (que vamos aprender a calcular em breve!), calculado para uma certa fibra da seção;
  • I ou I z z é o momento de inércia da área da seção; (Igual ao que era utilizado lá na fórmula da flexão!)
  • & t ou b é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão τ :

Beleza...

Mas como a gente aplica essa fórmula na prática?

Seguindo a sequência de passos abaixo!

Entre esses passos, os dois primeiros nós já vimos lá quando estudamos a fórmula da flexão e estão resumidos no quadro abaixo:

Sendo que o momento de inércia da área I i de cada elemento retangular ou circular é dado pelas fórmulas:

Já os outros 3 passos são passos novos: nunca vimos eles antes.

Então vamos ver como fazê-los um a um!

Identificação das Fibras

Após determinarmos a posição da linha neutra e o momento de inércia da área para a nossa seção, o próximo passo é identificar as fibras da seção nas quais queremos calcular a tensão τ .

Nesse passo, as fibras importantes de serem identificadas são:

  • As fibras no topo e na base da seção;
  • As fibras nas regiões em que há uma mudança na geometria da seção;
  • & a fibra na linha neutra da seção.

Por exemplo, para a nossa viga em I , essa identificação pode ficar assim:

Momentos Estáticos

Em seguida, calculamos os momentos estáticos Q ou S para cada fibra identificada no passo anterior.

Para tanto, devemos fazer o seguinte:

  • Observar somente a região acima OU abaixo da fibra:

  • Separar a região escolhida em elementos individuais:

  • Identificar, para cada um desses elementos, a área A i e a posição y - i do seu centro em relação à linha neutra da seção:

  • E finalmente, aplicar a fórmula Q = ∑ A i y - i (ou S = ∑ A i y - i ) para a fibra em questão:
  • Sendo que durante a resolução de um exercício, não é preciso fazer esse passo tão detalhado como nas imagens acima!

    Simplesmente identificar as fibras e calcular os valores numéricos de Q ou S para cada fibra é o suficiente, como na imagem abaixo:

    Por fim, ainda existem algumas dicas sobre o momento estático Q ou S que foram utilizadas na imagem acima e que você pode usar a vontade para facilitar a sua vida:

    Aplicação da Fórmula do Cisalhamento

    Finalmente, após termos calculado os momentos estáticos no passo anterior, podemos calcular as tensões τ nas nossas fibras.

    Aqui, devemos aplicar a fórmula do cisalhamento para cada fibra, tomando o cuidado de usar o momento estático Q ou S correto e a largura da fibra t ou b correta.

    Além disso, para as fibras onde há uma mudança de largura, devemos aplicar a fórmula do cisalhamento duas vezes: uma para cada largura.

    Fazendo tudo isso para o nosso exemplo da viga em I e marcando esses pontos em um gráfico, teríamos algo assim:

    E as tensões τ nos demais pontos?

    Você pode indicar elas conectando os pontos do gráfico acima, tendo em mãos o conhecimento de que:

  • A distribuição de tensões τ devido à força cortante V é parabólica;
  • E de que o ponto máximo dessas parábolas ocorre sempre na linha neutra da seção.

E pronto!

Conectando os pontos dessa forma, encontramos que as tensões τ na nossa seção ficam assim:

Aí a partir desse gráfico, você consegue reconhecer a tensão cisalhante τ máxima devido à força cortante V na viga.

Nesse caso, vemos que a tensão máxima τ acontece na fibra C .

Resumão

Agora você está preparado para fazer os exercícios resolvidos a seguir e mandar bem na prova!

Para te ajudar, segue um resumão dos passos para resolver esses exercícios:

Exemplo

Fórmula do Cisalhamento

Identificação das Fibras

Momentos Estáticos

Aplicação da Fórmula do Cisalhamento

Resumão

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A viga tem seção transversal retangular e é feita de madeira com tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 11,2   M P a . Se for submetida a um cisalhamento V = 20   k N , determine a menor dimensão a de sua parte inferior e 1,5 a de seus lados.

Passo 1

O que está acontecendo?

A seção transversal dessa viga é retangular, com uma base b = a e uma altura h = 1,5 a .

Por causa da força cortante V = 20   k N , vão surgir nessa seção tensões de cisalhamento τ de acordo com a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

Onde:

  • Q (também conhecido como “ S ”) é o momento estático, calculado para uma fibra da seção;
  • I (também conhecido como I z z ) é o momento de inércia da área da seção;
  • & t (também conhecido como b ) é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão τ .

Aí, como a seção dessa viga é só um retângulo, já sabemos que a sua linha neutra/centroide fica bem no meio da seção:

Além disso:

  • O momento de inércia da área I é sempre uma constante;
  • E essa seção tem uma largura t = a constante.

Então o que vai determinar aonde vai ocorrer a tensão τ máxima nessa seção é o momento estático Q .

E nós vimos na nossa teoria que o momento estático é sempre máximo na linha neutra:

Assim, concluímos que a tensão máxima τ m á x nesse seção vai ocorre na sua linha neutra.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é o menor valor de a necessário para que a tensão de cisalhamento τ máxima nessa viga não ultrapasse o seu valor admissível τ a d m = 11,2   M P a .

Ou seja, ele quer saber qual é o menor valor de a que satisfaz a condição:

τ m á x ≤ τ a d m

Então, para resolver esse exercício...

Devemos determinar o valor de I para essa seção e depois determinar o valor do momento estático Q para a fibra na linha neutra.

Assim, vamos poder descrever a tensão τ m á x nessa seção em função da dimensão a .

Substituindo isso na condição τ m á x ≤ τ a d m acima, vamos poder isolar a e encontrar seu valor mínimo necessário.

Passo 2

Então vamos começar pelo cálculo do momento de inércia da área para essa seção retangular.

Lembra aí!

O momento de inércia da área de um elemento retangular é dado pela fórmula:

I = b h 3 12

Daí que, substituindo os valores:

  • b = a ;
  • & h = 1,5 a ,

Encontramos que:

I = a 1,5 a 3 12

O que dá:

I = 0,28125 a 4

Beleza!

Passo 3

Em seguida, vamos determinar o valor do momento estático Q para a linha neutra, que é sempre o momento estático máximo em uma seção:

Q l i n h a   n e u t r a = Q m á x

Agora lembra aí!

Para determinar o valor do momento estático, devemos:

  • Observar somente a região acima OU abaixo da fibra;
  • Separar a região escolhida em elementos individuais;
  • Identificar, para cada elemento, a área A i e a posição y - i do seu centro em relação à linha neutra da seção;
  • E finalmente, aplicar a fórmula Q = ∑ A i y - i para a fibra em questão.

Fazendo isso para a fibra na linha neutra, e escolhendo observar a região acima dela, vamos ter um único elemento retangular, com a área A e posição y - indicadas na imagem abaixo:

Dessa forma, vamos ter que:

Q l i n h a   n e u t r a = Q m á x = ∑ A i y - i = ( 0,75 a 2 ) ( 0,375 a )

O que significa que:

Q m á x = 0,28125 a 3

E pronto!

Passo 4

Agora, podemos pegar a nossa condição de projeto:

τ m á x ≤ τ a d m

E aplicar a fórmula do cisalhamento com o objetivo de descrever a tensão máxima τ m á x nessa seção.

Fazendo isso, a nossa condição fica assim:

V Q m á x I t ≤ τ a d m

Substituindo I = 0,28125 a 4 , Q = 0,28125 a 3 e t = a , vamos ter que:

V 0,28125 a 3 0,28125 a 4 a ≤ τ a d m

Simplificando isso, temos:

V a 2 ≤ τ a d m

Isolando a 2 :

V τ a d m ≤ a 2

Espelhando essa expressão e fazendo a raíz quadrada dos dois lados:

a ≥ V τ a d m

E substituindo:

  • V = 20   k N = 20000   N ;
  • & τ a d m = 11,2   M P a = 11,2   N / m m 2 ,

Encontramos que:

a ≥ 20000   N 11,2   N / m m 2 = 42,26   m m

O que significa que o valor mínimo necessário para a dimensão a é:

Resposta

a = 42,26   m m

Exercício Resolvido #2

Faça um gráfico da intensidade da tensão de cisalhamento distribuída na seção transversal da escora se ela for submetida a uma força de cisalhamento V = 15   k N .

Passo 1

O que está acontecendo?

Por causa da força cortante V = 15   k N , vão surgir nessa seção tensões de cisalhamento τ de acordo com a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

Onde:

  • Q (também conhecido como “ S ”) é o momento estático, calculado para uma fibra da seção;
  • I (também conhecido como I z z ) é o momento de inércia da área da seção;
  • & t (também conhecido como b ) é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão τ .

Além disso, como essa seção é simétrica em relação à horizontal, já sabemos que a sua linha neutra/centroide fica bem no seu meio:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente esboce um gráfico da intensidade da tensão de cisalhamento τ distribuída nessa seção.

Para fazer isso, devemos seguir os passos abaixo:

Sendo que no nosso caso, já conhecemos a posição da linha neutra, então podemos pular esse passo.

Aí, depois de aplicarmos a fórmula do cisalhamento τ = V Q / I t para cada fibra, vamos poder colocar os resultados para a tensão τ em um gráfico e conectar esses pontos, completando o gráfico pedido pelo exercício!

Passo 2

Então vamos lá!

Primeiro, precisamos fazer o cálculo do momento de inércia da área I para essa seção.

Para tanto, começamos separando a seção em elementos numerados:

Feito isso, calculamos:

  • o momento de inércia da área I i ;
  • a área A i ;
  • e a distância d i de seu centro até a linha neutra,

...para cada um desses elementos.

Todos os elementos são retangulares, então eles vão ter áreas A = b h e momentos I i dados pela fórmula:

I i = b h 3 12

Observando as dimensões fornecidas pelo exercício, vemos que para os elementos 1 e 3 , temos uma base b = 120   m m e uma altura h = 12   m m , de tal forma que:

I 1 = I 3 = 120 12 3 12 = 17   280   m m 4

&

A 1 = A 3 = 120 12 = 1440   m m 2

Já para o elemento 2 , temos uma base b = 80   m m e uma altura h = 60   m m , de tal forma que:

I 2 = 80 60 3 12 = 1   440   000   m m 4

&

A 2 = 80 60 = 4800   m m 2

Por fim, observando mais uma vez as dimensões fornecidas pelo exercício, encontramos as distâncias d 1 e d 3 dos centros dos elementos 1 e 3 à linha neutra:

E como o centro do elemento 2 já está na própria linha neutra, vamos ter que:

d 2 = 0

Feito tudo isso, podemos finalmente aplicar a fórmula:

I = ∑ I i + A i d i 2

...para determinar o momento de inércia da área I da nossa seção como um todo:

I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2 + ( I 3 + A 3 d 3 2 )

Como I 1 = I 3 , A 1 = A 3 e d 1 = d 3 , podemos re-escrever essa fórmula assim:

I = 2 I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2

Finalmente, substituindo todos os valores disponíveis acima, encontramos que:

I = 5   207   040   m m 4

Ou então:

I = 5,207 * 10 6   m m 4

Passo 3

Agora, vamos identificar as fibras que nos interessam nessa viga, que são:

  • As fibras no topo e na base da seção;
  • As fibras nas regiões em que há uma mudança na geometria da seção;
  • & a fibra na linha neutra da seção.

Fazendo isso, devemos ter um desenho assim:

Sendo que nesse desenho, as dimensões foram adicionadas para facilitar já os nossos cálculos no próximo passo.

Passo 4

Identificadas as fibras, podemos calcular os momentos estáticos Q delas.

Nesse momento, vão nos ajudar as dicas que vimos na teoria:

Assim, para as fibras A e E , no topo e na base da seção, já sabemos que elas vão ser iguais à 0 :

Q A = Q E = 0

Em seguida, por simetria, podemos dizer que os momentos estáticos para as fibras B e D vão ser iguais:

Q B = Q D

Para calcular esses momentos estáticos, podemos escolher observar a região acima da fibra B .

Nessa região, vamos ter um único elemento retangular, de área A = 120 12 = 1440   m m 2 e com uma posição do centro em relação à linha neutra y - = 30 + 12 / 2 = 36   m m , de tal forma que:

Q B = Q D = ∑ A i y - i = 1440 36 = 51   840   m m 3

Por fim, para calcular o momento estático Q C , podemos observar a região acima da fibra C .

Nessa região, vamos ter:

  • O mesmo elemento retangular que havia na região acima da fibra B , para o qual A = 1440   m m 2 e y - = 36   m m ;
  • E um elemento retangular encostando na linha neutra, de base 80   m m e altura 30   m m , tendo assim uma área A = 80 30 = 2400   m m 2 e uma posição y - = 30 / 2 = 15   m m .

Dessa forma, temos que:

Q C = 1440 36 + 2400 15 = 87   840   m m 3

Passo 5

Por fim, podemos aplicar a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

...para cada fibra, tomando o cuidado de aplicar essa fórmula duas vezes para as fibras em que existem dois valores da largura t .

(Nesse caso, temos que tomar esse cuidado para as fibras B e D , onde há uma mudança na largura da seção.)

Começando pelas fibras A e E :

Como o momento estático Q para essas fibras é igual à 0 , vamos ter que:

τ A = τ E = 0

Já para as fibras B e D , temos:

τ B = τ D = V Q B I t = V Q D I t

Substituindo os valores:

  • V = 15   k N = 15000   N ;
  • Q B = Q D = 51840   m m 3 ;
  • I = 5,207 * 10 6   m m 4 ,

E utilizando o valor maior da largura t para essas fibras, t = 120   m m , encontramos que:

τ B = τ D = 15000   N 51840   m m 3 ( 5,207 * 10 6   m m 4 ) ( 120   m m )

Calculando tudo isso, vamos ter um resultado final em N / m m 2 ou M P a :

τ B = τ D = 1,24   M P a

Em seguida, utilizando o valor menor da largura t para essas fibras, t ' = 80   m m , encontramos que:

τ B ' = τ D ' = 15000   N 51840   m m 3 ( 5,207 * 10 6   m m 4 ) ( 80   m m )

O que dá:

τ B ' = τ D ' = 1,87   M P a

Por fim, para a fibra C , temos:

τ C = V Q C I t

E substituindo:

  • V = 15   k N = 15000   N ;
  • Q C = 87840   m m 3 ;
  • I = 5,207 * 10 6   m m 4 ,

E a largura da seção na região da fibra C , t = 80   m m , encontramos que:

τ C = 15000   N 87 840   m m 3 ( 5,207 * 10 6   m m 4 ) ( 80   m m ) = 3,16   M P a

Passo 6

Finalmente, inserindo os valores de tensão τ encontrados no passo anterior em um gráfico, e conectando esses pontos sabendo que:

  • A distribuição de tensões τ devido à força cortante V é parabólica;
  • E de que o ponto máximo dessas parábolas ocorre sempre na linha neutra da seção.

Ficamos com o gráfico abaixo, que é a nossa resposta para o exercício:

Resposta

Ver gráfico acima.

Exercício Resolvido #3

Se a viga T for submetida a um cisalhamento vertical V = 60   k N , determine a tensão de cisalhamento máxima na viga. Calcule também o salto da tensão de cisalhamento na junção aba-alma A B . Trace um rascunho da variação da intensidade da tensão de cisalhamento em toda a seção transversal.

Passo 1

O que está acontecendo?

Por causa da força cortante V = 60   k N , vão surgir nessa seção tensões de cisalhamento τ de acordo com a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

Onde:

  • Q (também conhecido como “ S ”) é o momento estático, calculado para uma fibra da seção;
  • I (também conhecido como I z z ) é o momento de inércia da área da seção;
  • & t (também conhecido como b ) é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão τ .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber:

  • A tensão de cisalhamento máxima nessa seção;
  • E o salto de tensão na junção aba-alma A B , que é a diferença entre a tensão nessa região para a aba de largura t = 300   m m e a tensão nessa região para a alma de largura t ' = 100   m m .

Para encontrar essas duas coisas, vamos ter que esboçar um gráfico para a distribuição da tensão τ nessa seção, que é a terceira coisa que o exercício pede.

Aí, para fazer isso, é só seguirmos os 5 passos abaixo:

Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a posição y - da linha neutra dessa seção.

Para tanto, começamos separando a seção em elementos numerados e definindo uma posição 0 na base da seção:

Em seguida, preenchemos em uma tabela os valores da área A i e da posição y - i do centro de cada elemento:

Ainda nessa tabela, também preenchemos na última coluna o produto desses valores para cada elemento e na última linha os somatórios ∑ A i e ∑ A i y - i .

Com isso, podemos aplicar a fórmula:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

E substituir os valores desses somatórios para encontrarmos a posição da nossa linha neutra:

y - = 5343750   m m 3 37500   m m 2 = 142,5   m m

Passo 3

Agora, já podemos calcular o momento de inércia da área I da nossa seção como um todo.

Para tanto, devemos calcular, para cada elemento numerado:

  • O momento de inércia da área I i ;
  • E a distância d i do centro do elemento até a linha neutra.

(Não precisamos calcular as áreas A i pois já calculamos elas no passo anterior.)

Como os nossos dois elementos são retangulares, eles vão momentos de inércia da área I i = b h 3 / 12 .

Para o elemento 1 , temos uma base b = 300   m m e uma altura h = 75   m m , então:

I 1 = 300 75 3 12 = 10   546   875   m m 4

Já para o elemento 2 , b = 100   m m e h = 150   m m , então:

I 2 = 100 150 3 12 = 28   125   000   m m 4

Em seguida, como o elemento 1 tem um centro a uma altura de 187,5   m m e como a linha neutra está a uma altura de 142,5   m m , a distância d 1 para o elemento 1 vai ser:

d 1 = 187,5 - 142,5 = 45   m m

Já o elemento 2 tem um centro a uma altura de 75   m m , de tal forma que:

d 2 = 142,5 - 75 = 67,5   m m

Finalmente, podemos aplicar a fórmula:

I = ∑ ( I i + A i d i 2 )

Que fica assim para o nosso caso com dois elementos:

I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2

E substituir nessa fórmula:

  • I 1 = 10   546   875   m m 4 e I 2 = 28   125   000   m m 4 ;
  • A 1 = 22500   m m 2 e A 2 = 15000   m m 2 ; (Valores retirados da tabela do passo anterior)
  • & d 1 = 45   m m e d 2 = 67,5   m m ,

Para encontrarmos que o momento de inércia da área I da nossa seção como um todo é:

I = 152,578 * 10 6   m m 4

Passo 4

Próximo passo, identificar as fibras de interesse:

  • As fibras no topo e na base da seção;
  • As fibras onde ocorre uma mudança na largura da seção;
  • E a fibra na linha neutra.

Fazendo isso, ficamos com o desenho abaixo:

Sendo que nesse desenho, as dimensões foram adicionadas para já facilitar os cálculos do próximo passo.

Passo 5

Agora, devemos calcular os momentos estáticos Q .

Para as fibras A e D , podemos nos lembrar que os momentos estáticos das fibras no topo e na base de uma seção são iguais a zero, então:

Q A = Q D = 0

Para a fibra B , podemos escolher por observar a região acima dessa fibra.

Fazendo isso, vamos ter nessa região um único elemento retangular: o elemento 1 que definimos anteriormente.

Esse elemento tem uma área A 1 = 22500   m m 2 e um centro com uma posição relativa à linha neutra y - 1 = d 1 = 45   m m .

Dessa forma, temos que:

Q B = ∑ A i y - i = 22500 45 = 1012 500   m m 3

Já para a fibra C , é mais fácil escolher por observar a região abaixo desse fibra.

Nessa região, vamos ter um único elemento retangular encostado na linha neutra com uma altura de 142,5   m m e uma largura de 100   m m .

Dessa forma, esse elemento vai ter uma área A 1 = 142,5 100 e um centro com uma posição relativa à linha neutra y - 1 = 142,5 / 2 .

Sendo assim, temos:

Q C = ∑ A i y - i = 142,5 100 142,5 2 = 1015312,5   m m 3

Passo 6

Finalmente, já temos tudo que precisamos para aplicar a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

...para cada fibra.

Para as fibras A e D , como Q A = Q D = 0 , vamos ter que:

τ A = τ D = 0

Já para a fibra B , temos:

τ B = V Q B I t

Aí, como temos duas larguras t na região da fibra B ( t = 300   m m e t ' = 100   m m ), devemos aplicar essa fórmula duas vezes.

Primeiro, substituímos:

  • V = 60   k N = 60000   N ;
  • Q B = 1012500   m m 3 ;
  • I = 152,578 * 10 6   m m 4 ,

E a largura da aba, t = 300   m m :

τ B = 60000   N 1012500   m m 3 152,578 * 10 6   m m 4 300   m m

Calculando tudo, vamos ter um resultado final em N / m m 2 , que é o mesmo que M P a :

τ B = 1,33   N / m m 2 = 1,33   M P a

Em seguida, substituímos os mesmos valores, mas dessa vez utilizamos a largura da alma, t ' = 100   m m :

τ B ' = 60000   N 1012500   m m 3 152,578 * 10 6   m m 4 100   m m

Calculando tudo isso, encontramos que:

τ B ' = 3,98   M P a

Por fim, para a fibra C , temos:

τ C = V Q C I t

Aí, substituindo:

  • V = 60   k N = 60000   N ;
  • Q C = 1015312,5 ;
  • I = 152,578 * 10 6   m m 4 ;
  • E a largura da seção na região da fibra C , t = 100   m m ,

Encontramos que:

τ C = 3,99   M P a

Passo 7

Por fim, inserindo os valores de tensão τ encontrados no passo anterior em um gráfico, e conectando esses pontos sabendo que:

  • A distribuição de tensões τ devido à força cortante V é parabólica;
  • E de que o ponto máximo dessas parábolas ocorre sempre na linha neutra da seção.

Ficamos com o gráfico abaixo, que faz parte da nossa resposta para o exercício:

Além disso, desse gráfico...

Conseguimos identificar a tensão de cisalhamento máxima τ m á x nessa seção e o valor do salto de tensão na junção aba-alma na fibra B , que completam a nossa resposta para o exercício:

Resposta

τ m á x = 3,99   M P a

&

Salto = 3,98 - 1,33 = 2,65   M P a

Exercício Resolvido #4

Se o tubo estiver sujeito a um cisalhamento V = 75   k N , determine a tensão de cisalhamento máxima nele.

Dicas do Expert: Existem alguns conhecimentos adicionais importantes para resolver exercícios com uma seção circular como este.

São eles:

1. A tensão de cisalhamento máxima em seções transversais circulares (vazadas ou não) ocorre na linha neutra da seção;

2. Para o cálculo da posição da linha neutra, do momento de inércia da área e do momento estático, você pode considerar furos como elementos de área A i negativa e momento de inércia da área I i negativo;

& 3. A centroide de um semicírculo de raio R fica a uma distância 4 R / 3 π da base do semicírculo.

Passo 1

O que está acontecendo?

A seção transversal dessa viga tem a forma de um anel, com raio externo R e x t = 60   m m e raio interno R i n t = 50   m m .

Por causa da força cortante V = 75   k N , vão surgir nessa seção tensões de cisalhamento τ de acordo com a fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

Onde:

  • Q (também conhecido como “ S ”) é o momento estático, calculado para uma fibra da seção;
  • I (também conhecido como I z z ) é o momento de inércia da área da seção;
  • & t (também conhecido como b ) é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão τ .

Além disso, como essa seção é simétrica em relação à horizontal, já podemos afirmar que a sua linha neutra fica bem no seu meio:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber a tensão de cisalhamento máxima τ m á x nessa seção, que vai ocorrer na sua linha neutra.

Então, devemos encontrar:

  • O momento de inércia da área I dessa seção;
  • E o momento estático Q para a fibra na linha neutra.

Feito isso, vamos poder aplicar a fórmula do cisalhamento para a fibra na linha neutra “ L N ”, que vai ficar assim:

τ m á x = V Q L N I t

Sendo que a largura t da seção nessa fibra vai ser igual ao diâmetro externo de 120   m m menos o diâmetro interno de 100   m m .

Ou seja, t = 20   m m .

Passo 2

Então vamos começar calculando o momento de inércia da área I para essa seção.

Para tanto, devemos separar ela em elementos individuais.

Nesse caso, podemos considerar o círculo maior como um elemento e o círculo menor, que é um furo, como um elemento de área negativa e momento negativo:

Como ambos os elementos são circulares, os seus momentos de inércia da área individuais vão ser dados pela fórmula:

I i = π r 4 4

Assim, para o elemento 1 , de raio R e x t = 60   m m , vamos ter que:

I 1 = π 60 4 4 = 10,178 * 10 6   m m 4

Enquanto que para o elemento 2 , de área/momento negativo e de raio R i n t = 50   m m , temos:

I 2 = - π 50 4 4 = - 4,909 * 10 6   m m 4

Aí, como os dois elementos já estão centrados na linha neutra, não é necessário utilizar o teorema dos eixos paralelos I = ∑ I i + A i d i 2 .

Ao invés disso, podemos simplesmente somar os momentos de cada elemento para encontrarmos o valor do momento de inércia da área I da seção como um todo:

I = I 1 + I 2 = 10,178 * 10 6 - 4,909 * 10 6 = 5,269 * 10 6   m m 4

Passo 3

Em seguida, calculamos o momento estático Q para a fibra na linha neutra.

Para tanto, podemos escolher observar a região acima dessa fibra.

Fazendo isso, vamos ter dois elementos na forma de semicírculos.

O primeiro elemento, de raio R e x t = 60   m m , vai ter uma área positiva igual à metade da área de um círculo com esse raio:

A 1 = ( π R e x t 2 ) 2 = π 60 2 2 = 1800 π   m m 2

E um centro com uma posição y - 1 = 4 R e x t / 3 π :

Já o segundo elemento, de raio R i n t = 50   m m , vai ter uma área negativa igual à metade da área de um círculo come esse raio:

A 2 = - π R i n t 2 2 = - π 50 2 2 = - 1250 π   m m 2

E um centro com uma posição y - 2 = 4 R i n t / 3 π :

Dessa forma, o momento estático para a fibra na linha neutra vai ser:

Q L N = ∑ A i y - i = 1800 π 4 * 60 3 π + - 1250 π 4 * 50 3 π

O que dá:

Q L N = 60667   m m 3

Passo 4

Agora, só falta aplicar a fórmula do cisalhamento para o cálculo da tensão de cisalhamento máxima nessa seção, que ocorre na sua linha neutra.

Fazendo isso, temos:

τ m á x = V Q L N I t

Aí, substituindo:

  • V = 75   k N = 75000   N ;
  • Q L N = 60667   m m 3 ;
  • I = 5,269 * 10 6   m m 4 ;
  • & t = 20   m m ,

Vamos ter:

τ m á x = 75000   N 60667   m m 3 5,269 * 10 6   m m 4 20   m m

Calculando tudo e percebendo que o resultado final vai sair em N / m m 2 , que é o mesmo que M P a , encontramos que:

Resposta

τ m á x = 43,17   M P a

Exercício Resolvido #5

Abaixo é dada uma seção retangular de altura 40cm e base 20 cm. Sabendo que a seção somente suporta uma tensão cisalhante de no máximo 500Kpa, determine a que altura ocorreria a tensão cisalhante imediatamente anterior ao rompimento da mesma. Vale ressaltar que a peça está sofrendo a ação de um cortante de 200KN na direção mostrada.

Passo 1

Para resolvermos essa questão precisamos analisar cada elemento da nossa fórmula a fim de descobrir em que ponto estará a nossa incógnita (que já sabemos de antemão que se trata da altura em que alcançamos o cisalhante admissível da nossa peça, que também já sabemos ser 80Mpa).

A nossa fórmula para cisalhamento é dada por

τ = Q . S I . B

Em que sabemos que

τ = tensão cisalhante

Q = esforço cortante

S = Momento Estático

I = Momento de Inércia

B = espessura do ponto que calculamos o cisalhante

Agora que já sabemos o que cada termo da nossa fórmula significa, vamos identificar cada um desses valores na nossa seção.

Passo 2

O primeiro passo é determinar a posição da linha Neutra. Como se trata de uma seção retangular, sabemos que a linha neutra passa no centro da nossa seção, como mostra a figura

Também temos pelo enunciado dois valores

Um valor é o cortante

Q = 200 K N

O outro valor é o próprio cisalhante

τ = 50 0 K p a

Passo 3

Também sabemos que devemos garantir o valor do momento de inércia, pois esse se trata diretamente do valor referente a seção, ou seja, independente do ponto em que calculamos o cisalhante.

Como se trata de uma seção retangular, sabemos que o momento de inercia será dado por

I = B . H 3 12

Como já vimos sabemos que

B = 0,2 m

H = 0,4 m

Substituindo teremos que

I = 0,2 . 0,4 3 12 = 1,067.10 - 3 m 4

Também sabemos que a seção que iremos calcular tem espessura constante, que é o próprio valor de B, logo teremos que

B = 0,2 m

Até aqui tudo bem, agora precisamos determinar o nosso momento estático.

Passo 4

Sabemos que a fórmula do momento estático é dada por

S = A . Y

Em que A é a área da seção acima do ponto em que estamos calculando o cisalhante e Y é o centroide que calculamos para essa área, porém em que ponto estamos calculando o cisalhante? Vamos ver a imagem abaixo para facilitar o entendimento.

como não sabemos a altura em que o cisalhante ocorre, vamos supor que esse valor seja o nosso X, dessa forma nossa figura ficará

Então teremos que

A = 0,2 - X . 0,2 = 0,04 - 0,2 X

Y = X + ( 0,2 - X ) 2 = ( 0,2 + X ) 2

Logo nosso momento estático será dado por

S = 0,04 - 0,2 X 0,2 + X 2 = 0,004 + 0,02 X - 0,02 X - 0,1 X 2 = 0,004 - 0,1 X 2

Passo 5

Agora que já determinamos todos os valores basta substituirmos na nossa equação

τ = Q . S I . B

S = 0,004 - 0,1 X 2

B = 0,2 m

I = 1,067.10 - 3 m 4

Q = 200 K N

τ = 500 K p a = 50 0 K N m 2

Substituindo teremos que

500 = 2 00 . ( 0,004 - 0,1 X 2 ) 1,067.10 - 3 . 0,2

X = 0,186 m = 18,6 c m

Ou seja, a nossa peça sofreria rompimento no trecho distante 18,6 cm da linha neutra, ou seja, antes mesmo do cisalhante máximo que ocorreria na Linha Neutra.

Resposta

Nossa peça sofre rompimento a altura de 18,6 cm com relação a Linha Neutra

Exercício Resolvido #6

Abaixo é dado uma viga sujeita as cargas mostradas. Com base nos seus conhecimentos, determine a tensão cisalhante máxima que afeta a viga mostrada abaixo.

Passo 1

Para resolvermos essa questão precisamos analisar cada elemento da nossa fórmula a fim de descobrir em que ponto estará a nossa incógnita (que já sabemos de antemão que se trata da altura em que alcançamos o cisalhante admissível da nossa peça, que também já sabemos ser 80Mpa).

A nossa fórmula para cisalhamento é dada por

τ = Q . S I . B

Em que sabemos que

τ = tensão cisalhante

Q = esforço cortante

S = Momento Estático

I = Momento de Inércia

B = espessura do ponto que calculamos o cisalhante

Agora que já sabemos o que cada termo da nossa fórmula significa, vamos identificar cada um desses valores na nossa seção.

Passo 2

O primeiro passo é determinar a posição da linha Neutra. Como se trata de uma seção retangular, sabemos que a linha neutra passa no centro da nossa seção, como mostra a figura

Também precisamos saber qual o cortante está agindo na nossa peça, e para fazermos isso precisamos determinar o diagrama de esforços cortantes na nossa estrutura, para isso faremos primeiro a determinação das reações de apoio.

Sabemos que precisamos determinar o equilíbrio de forças. Para isso farei o somatório de momentos em A, assim teremos que

∑ M a =   6 V b - 2.200 = 0

V b = 66,67 K N

Como queremos que o somatório das reações também anule a carga teremos que

V a = 133,33 K N

Passo 3

Como é pedido o cisalhante máximo, precisamos saber qual o maior cortante agindo na viga, vamos analisar então o diagrama de cortante.

Por esse diagrama de cortantes teremos que o maior cortante agindo na nossa peça é

Q = 133,33   K N

Passo 4

Também sabemos que devemos garantir o valor do momento de inércia, pois esse se trata diretamente do valor referente a seção, ou seja, independente do ponto em que calculamos o cisalhante.

Como se trata de uma seção retangular, sabemos que o momento de inercia será dado por

I = B . H 3 12

Como já vimos sabemos que

B = 0 , 15 m

H = 0 , 50 m

Substituindo teremos que

I = 0 , 15 . 0 , 5 3 12 = 1,5625 . 10 - 3 m 4

Também sabemos que a seção que iremos calcular tem espessura constante, que é o próprio valor de B, logo teremos que

B = 0 , 15 m

Até aqui tudo bem, agora precisamos determinar o nosso momento estático.

Passo 5

Sabemos que a fórmula do momento estático é dada por

S = A . Y

Em que A é a área da seção acima do ponto em que estamos calculando o cisalhante e Y é o centroide que calculamos para essa área, porém em que ponto estamos calculando o cisalhante? Vamos ver a imagem abaixo para facilitar o entendimento.

Como querermos determinar o cisalhante máximo, devemos calcular o valor do momento estático que age na linha neutra da nossa seção.

Pelo nosso esquema teremos que

Com isso sabemos que a nossa área é dada por

A = 0,25 .   0,15 = 0,0375 m 2

E que

Y = 0,125 m

Logo nosso momento estático será

S = 0,0375 . 0,125 = 4,6875.10 - 3 m 3

Passo 6

Agora que já determinamos todos os valores basta substituirmos na nossa equação

τ = Q . S I . B

S = 4,6875.10 - 3 m 3

B = 0 , 15 m

I = 1,5625.10 - 3 m 4

Q = 133,33 K N

Substituindo teremos que

τ = 133,33 . 4,6875.10 - 3 1,5625.10 - 3 . 0 , 15

τ = 2667 K N m 2 = 2667 K p a = 2,7 M p a

Resposta

τ = 2,7 M p a

Exercício Resolvido #7

Calcule o valor do cisalhante máximo que ocorre na seção dada abaixo.

Passo 1

Para resolvermos essa questão precisamos analisar cada elemento da nossa fórmula a fim de descobrir em que ponto estará a nossa incógnita (que já sabemos de antemão que se trata da altura em que alcançamos o cisalhante admissível da nossa peça, que também já sabemos ser 80Mpa).

A nossa fórmula para cisalhamento é dada por

τ = Q . S I . B

Em que sabemos que

τ = tensão cisalhante

Q = esforço cortante

S = Momento Estático

I = Momento de Inércia

B = espessura do ponto que calculamos o cisalhante

Agora que já sabemos o que cada termo da nossa fórmula significa, vamos identificar cada um desses valores na nossa seção.

Passo 2

O primeiro passo é determinar a posição da linha Neutra. Como se trata de uma seção retangular, sabemos que a linha neutra passa no centro da nossa seção, como mostra a figura

Também precisamos saber qual o cortante está agindo na nossa peça, e já sabemos seu módulo pelo enunciado.

Q = 500 K N

Passo 3

Também sabemos que devemos garantir o valor do momento de inércia, pois esse se trata diretamente do valor referente a seção, ou seja, independente do ponto em que calculamos o cisalhante.

Como se trata de uma seção retangular, sabemos que o momento de inercia será dado por

I = B . H 3 12

Como já vimos sabemos que

B = 0 , 80 m

H = 0 , 12 m

Substituindo teremos que

I = 0 , 80 . 0 , 12 3 12 = 1,152 . 10 - 4 m 4

Também sabemos que a seção que iremos calcular tem espessura constante, que é o próprio valor de B, logo teremos que

B = 0 , 8 m

Até aqui tudo bem, agora precisamos determinar o nosso momento estático.

Passo 4

Sabemos que a fórmula do momento estático é dada por

S = A . Y

Em que A é a área da seção acima do ponto em que estamos calculando o cisalhante e Y é o centroide que calculamos para essa área, porém em que ponto estamos calculando o cisalhante? Vamos ver a imagem abaixo para facilitar o entendimento.

Como querermos determinar o cisalhante máximo, devemos calcular o valor do momento estático que age na linha neutra da nossa seção.

Pelo nosso esquema teremos que

Com isso sabemos que a nossa área é dada por

A = 0 , 06 .   0 , 80 = 0,048 m 2

E que

Y = 0 , 03 m

Logo nosso momento estático será

S = 0,048.0,03 = 1,44.10 - 3 m 3

Passo 5

Agora que já determinamos todos os valores basta substituirmos na nossa equação

τ = Q . S I . B

S = 1,44.10 - 3 m 3

B = 0 , 80 m

I = 1,152.10 - 4 m 4

Q = 500 K N

Substituindo teremos que

τ = 500 . 1,44.10 - 3 1,152.10 - 4 . 0 , 80

τ = 7812,5 K N m 2 = 7812,5 K p a = 7,8   M p a

Resposta

τ = 7,8   M p a

Exercício Resolvido #8

Determine a tensão cisalhante máxima na seção sujeita ao esforço cortante mostrado abaixo. Todas as medidas estão em cm.

Passo 1

Para resolvermos essa questão precisamos analisar cada elemento da nossa fórmula a fim de descobrir em que ponto estará a nossa incógnita (que já sabemos de antemão que se trata da altura em que alcançamos o cisalhante admissível da nossa peça, que também já sabemos ser 80Mpa).

A nossa fórmula para cisalhamento é dada por

τ = Q . S I . B

Em que sabemos que

τ = tensão cisalhante

Q = esforço cortante

S = Momento Estático

I = Momento de Inércia

B = espessura do ponto que calculamos o cisalhante

Agora que já sabemos o que cada termo da nossa fórmula significa, vamos identificar cada um desses valores na nossa seção.

Passo 2

Precisamos determinar primeiramente a linha neutra na nossa seção. Sabemos que para determinarmos a linha neutra precisamos primeiro definir uma linha de origem, que geralmente passamos pela base da nossa seção.

Em seguida dividimos a nossa seção em figuras mais simples

Agora vem a parte legal, para cada uma dessas seções mais simples calculamos o valor da área e a distancia do centroide de cada uma delas até a nossa linha de origem.

Agora para determinar a linha neutra basta usar a fórmula

Y = ∑ Y i A i ∑ A i = ( 0,12   .   2,2 + 0,72   .   1,2 + 0,15   .   0,69 ) 0,12 + 0,72 + 0,69 ≅ 0,80 m

Teremos que a linha neutra será marcada com relação a nossa origem

Sabemos também que o nosso cortante é dado no enunciado e sabemos que vale

Q = 9 50 K N

Passo 3

Precisamos definir agora o valor do nosso momento de inércia. Aqui devemos seguir um passo a passo como seguimos para determinação da linha neutra.

Vamos utilizar a mesma separação de figuras mais simples que usamos para determinação da linha neutra

Já sabemos quanto valem as áreas de cada seção, mas agora devemos calcular dois valores importantes. Primeiro o momento de inercia de cada uma das peças mais simples. Depois a distancia do centroide de cada peça até a linha neutra. Na figura abaixo já verificamos tanto as áreas quando as distâncias dos centroides até a linha neutra.

Vamos agora determinar o valor do momento de inercia para cada uma das peças. Sabemos que como todas são retângulos, a fórmula será

I = B . H 3 12

Olhando novamente as medidas teremos que

Logo

I v e r d e = 0,6.0,2 3 12 = 4.10 - 4 m 4

I l a r a n j a = 0,4.1,8 3 12 = 0,1944   m 4

I a z u l = 2,3.0,3 3 12 = 5,175.10 - 3 m 4

Com todos esses valores devemos usar a seguinte fórmula para determinarmos o momento de inercia da nossa seção

I = ∑ ( I i + A i   .     d i 2 )

Substituindo nossos valores teremos que

I = 4.10 - 4 + 0,12   .   1,4 2 + 0,1944 + 0,72.0,4 2 + 5,175.10 - 3 + 0,69   .   0,65 2

I = 0,8419 m 4

Passo 4

Agora vamos determinar o momento estático da nossa seção. Como no enunciado foi pedido o valor do cisalhante máximo, devemos fazer o calculo levando em consideração as fibras da seção que contem a linha neutra, nesse caso a seção que usamos a cor laranja, dessa forma também descobrimos que o valor da espessura de fibras usada no nosso cálculo será

B = 0,4   m

Mas também queremos determinar o momento estático, nesse caso devemos escolher a seção acima da linha neutra ou abaixo da linha neutra. Analisando a nossa seção, me parece mais simples fazer a conta analisando a parte de baixo da nossa seção, nesse caso pela nossa figura a nossa seção analisada será

Podemos ver que essa região marcada em baixo possui duas seções diferentes, uma azul e uma laranja, dessa forma, para calcularmos o momento estático total precisaremos determinar o momento estático de cada um desses trechos e soma-los. Mas como calculamos o momento estático?

A fórmula é dada por

S = ∑ A i   .   D i

Em que A i é a área de cada seção abaixo da linha neutra e D i a distancia do centroide de cada seção abaixo da linha neutra até a própria linha neutra. No esquema abaixo descobrimos que esses valores são os da figura

Agora basta substituir na fórmula os valores encontrados

S = 0,69   .   0,65 + 0,2   .   0,25 = 0,4985 m 3

Passo 5

Agora que já determinamos todos os valores basta substituirmos na nossa equação

τ = Q . S I . B

S = 0,4985 m 3

B = 0,4   m

I = 0,8419 m 4

Q = 95 0 K N

Substituindo teremos que

τ = 950   .   0,4985 0,8419   .   0 , 4 0

τ = 1406,27 K N m 2 = 1406,27 K p a = 1,41   M p a

Resposta

τ = 1,4 1   M p a

Exercício Resolvido #9

Uma viga de seção retangular com as dimensões mostradas na figura, foi submetida a um carregamento cortante de intensidade Q . Sabendo que a tensão cisalhante admissível máxima suportada por essa viga é τ a d m = 90   K p a , determine o valor do cortante máximo que podemos aplicar sem que haja rompimento da peça.

Passo 1

Para resolvermos essa questão precisamos analisar cada elemento da nossa fórmula a fim de descobrir em que ponto estará a nossa incógnita (que já sabemos de antemão que se trata do cortante).

A nossa fórmula para cisalhamento é dada por

τ = Q . S I . B

Em que sabemos que

τ = tensão cisalhante

Q = esforço cortante

S = Momento Estático

I = Momento de Inércia

B = espessura do ponto que calculamos o cisalhante

Agora que já sabemos o que cada termo da nossa fórmula significa, vamos identificar cada um desses valores na nossa seção.

Passo 2

Precisamos determinar primeiramente a linha neutra na nossa seção. A linha neutra de uma seção retangular uniforme sempre fica no centro da nossa seção. Como queremos saber o máximo cortante que devemos aplicar precisamos usar o ponto que há o maior cisalhante na nossa peça, e nesse caso o ponto com maior tensão cisalhante é o ponto sobre a linha neutra.

Passo 3

Precisamos definir agora o valor do nosso momento de inércia. Como a nossa seção é retangular sabemos que o momento de inercia será

I = B H 3 12

Em que

B = 20   c m = 0,20   m

H = 80   c m = 0,80   m

I = B H 3 12 = 0,20   .   0,80 3 12 = 8,5   .   10 - 3 m 4

Passo 4

Agora vamos determinar o momento estático da nossa seção. Como no enunciado foi pedido o valor do cisalhante máximo, devemos fazer o cálculo levando em consideração as fibras da seção que contem a linha neutra, dessa forma também descobrimos que o valor da espessura de fibras usada no nosso cálculo será

B = 0,20   m

Mas também queremos determinar o momento estático, nesse caso devemos escolher a seção acima da linha neutra ou abaixo da linha neutra. Analisando a nossa seção, faremos isso para a seção acima da linha neutra como mostra a figura

A fórmula do momento estático é dada por

S = ∑ A i   .   D i

Em que

A i = á r e a   h a c h u r a d a

D i = d i s t a n c i a   d o   c e n t r o i d e   d a   á r e a   h a c h u r a d a   a t é   L N

Com isso teremos que

A = 40   .   20 = 800   c m 2 = 0,08 m 2

D = 20 c m = 0,20   m

S = 0,08   .   0,20 = 0,016   m 3

Passo 5

Agora que já determinamos todos os valores basta substituirmos na nossa equação

τ = Q . S I . B

S = 0,016   m 3

B = 0,20   m

I = 8,5   .   10 - 3 m 4

τ a d m = 90   K p a = 90 K N m 2

Substituindo teremos que

90 = Q   .     0,016 8,5   .   10 - 3   .   0,20

Q = 9,56   K N

Resposta

Q = 9,56   K N

Exercício Resolvido #10

Uma estrutura de madeira com perfil T mostrado baixo é submetida a ação de um cortante de intensidade V. Sabendo que a resistência dessa madeira ao cisalhamento é de τ a d m = 22   K p a , determine o máximo cortante que podemos aplicar nessa peça sem que ela sofra um rompimento.

Passo 1

Para resolvermos essa questão precisamos analisar cada elemento da nossa fórmula a fim de descobrir em que ponto estará a nossa incógnita (que já sabemos de antemão que se trata do cortante).

A nossa fórmula para cisalhamento é dada por

τ = Q . S I . B

Em que sabemos que

τ = tensão cisalhante

Q = esforço cortante

S = Momento Estático

I = Momento de Inércia

B = espessura do ponto que calculamos o cisalhante

Agora que já sabemos o que cada termo da nossa fórmula significa, vamos identificar cada um desses valores na nossa seção.

Passo 2

Precisamos determinar primeiramente a linha neutra na nossa seção. Sabemos que para determinarmos a linha neutra precisamos primeiro definir uma linha de origem, que geralmente passamos pela base da nossa seção.

Em seguida dividimos a nossa seção em figuras mais simples

Agora vem a parte legal, para cada uma dessas seções mais simples calculamos o valor da área e a distância do centroide de cada uma delas até a nossa linha de origem.

Agora para determinar a linha neutra basta usar a fórmula

Y = ∑ Y i A i ∑ A i = ( 1700   .     70 + 1080   .     30 ) 1700 + 1080 ≅ 54,46   c m = 0,5446

Teremos que a linha neutra será marcada com relação a nossa origem

Passo 3

Precisamos definir agora o valor do nosso momento de inércia. Aqui devemos seguir um passo a passo como seguimos para determinação da linha neutra.

Vamos utilizar a mesma separação de figuras mais simples que usamos para determinação da linha neutra

Já sabemos quanto valem as áreas de cada seção, mas agora devemos calcular dois valores importantes. Primeiro o momento de inercia de cada uma das peças mais simples. Depois a distância do centroide de cada peça até a linha neutra. Na figura abaixo já verificamos tanto as áreas quanto as distâncias dos centroides até a linha neutra.

Vamos agora determinar o valor do momento de inercia para cada uma das peças. Sabemos que como todas são retângulos, a fórmula será

I = B . H 3 12

Olhando novamente as medidas teremos que

Logo

I 1 = 0 , 85   .   0,2 0 3 12 = 5,67   .     10 - 4 m 4

I 2 = 0 , 18   .   0,60 3 12 = 3,24   .   10 - 3   m 4

Com todos esses valores devemos usar a seguinte fórmula para determinarmos o momento de inercia da nossa seção

I = ∑ ( I i + A i   .     D i 2 )

Substituindo nossos valores teremos que

I = 5,67   .     10 - 4 + 0,1 7   .   ( 0,1554 ) 2 + 3,24   .   10 - 3 + 0 , 108   .   ( 0,2446 ) 2

I = 0 , 0144 m 4

Passo 4

Agora vamos determinar o momento estático da nossa seção. Como no enunciado foi pedido o valor do cisalhante máximo, devemos fazer o cálculo levando em consideração as fibras da seção que contem a linha neutra, nesse caso a seção 2, dessa forma também descobrimos que o valor da espessura de fibras usada no nosso cálculo será

B = 0 , 18   m

Mas também queremos determinar o momento estático, nesse caso devemos escolher a seção acima da linha neutra ou abaixo da linha neutra. Analisando a nossa seção, me parece mais simples fazer a conta analisando a parte de baixo da nossa seção, nesse caso pela nossa figura a nossa seção analisada será

Agora precisamos saber o que fazer com essa seção, a fórmula do momento estático é dada por

S = ∑ A i   .   D i

Em que A i é a área da seção abaixo da linha neutra e D i a distancia do centroide dessa seção abaixo da linha neutra até a própria linha neutra. No esquema abaixo descobrimos que esses valores são os da figura

Agora basta substituir na fórmula os valores encontrados

S = 0,09803   .     0,2723 = 0,0267 m 3

Passo 5

Agora que já determinamos todos os valores basta substituirmos na nossa equação

τ = Q . S I . B

S = 0,0267 m 3

B = 0 , 18   m

I = 0,0144 m 4

τ a d m = 22   K p a = 22 K N m 2

Substituindo teremos que

22 = Q   .     0,0267 0,0144   .   0,18

Q = 2,14   K N

Resposta

Q = 2,14   K N

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