Calcule a integral de linha de

F → x , y = y 2 + arcsin ⁡ sin ⁡ 2 x i → + 3 x + cos ⁡ ln ⁡ y 7 + y + 6 j →

ao longo do caminho fechado que é fronteira da região entre os gráficos de y = x 2 e y = x (orientado no sentido anti-horário). Baseado em sua resposta, diga se o campo F → é conservativo ou não.

Passo 1

Cara, esse campo é muito feio e a região limitada pelo nosso caminho está entre duas curvas, então ela é fechada. Por isso, vamos ver se é uma boa usar o Teorema de Green. Para testar isso, vamos calcular o rotacional desse campo

r o t   F → = ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Nosso campo é

F → x , y = y 2 + arcsin ⁡ sin ⁡ 2 x ,   3 x + cos ⁡ ln ⁡ y 7 + y + 6 = F 1 , F 2

Aí o rotacional fica

r o t   F → = ∂ 3 x + cos ⁡ ln ⁡ y 7 + y + 6 ∂ x - ∂ y 2 + arcsin ⁡ sin ⁡ 2 x ∂ y

r o t   F → = 3 - 2 y

Nossa, ficou super simples, né? Então, bora de Green!

Mas repara que esse rotacional não zerou. Então nosso campo não é conservativo, tá?

Passo 2

O Teorema de Green diz que a gente pode calcular a integral de F = F 1 , F 2   em uma curva δ D por essa relação:

∫ δ D F → d r → = ∫ ∫ D r o t   F → d A

Onde D é uma região e δ D é a curva fronteira dessa região. Só que ele tem umas condições para aplicar.

Primeira condição: A nossa região precisa ser fechada. Como ele já chama nosso caminho que a gente vai chamar de γ de fronteira da região entre curvas, a gente saca que ele é fechada.

Segunda condição: A fronteira precisa ser percorrida no sentido positivo: Que sentido é esse? Se ela for uma região sem buracos como a nossa, a gente precisa que ela esteja no sentido anti-horário.

O enunciado diz que a fronteira está nesse sentido, então tá belezinha!

Aí, podemos reescrever o lado esquerdo do teorema assim

∫ δ D F → d r → = ∫ γ F → d r →

Terceira condição: F → e suas derivadas não podem ter descontinuidades dentro da nossa região.

Isso também vai acontecer! Por que? O único problema que poderíamos ter é se o argumento do log zerasse, ou ficasse negativo. E isso só acontece para valores y ≤ 0 .

Maas, vamos ver mais a frente que a nossa região só está em y ≥ 0 . Então essa tá tranquilo também. Bora lá aplicar o Teorema!

Passo 3

Substituindo nele as coisas que a gente tem:

∫ γ F → d r → = ∫ ∫ D r o t   F → d A

Vimos que r o t   F → = 3 - 2 y :

∫ γ F → d r → = ∫ ∫ D 3 - 2 y d A

Precisamos definir nossa região D entre y = x 2 e y = x como extremos de integração. Uma boa é esboçar essa região:

Eles esperam que a gente já saiba a carinha de y = x e y = x 2 , tá? Aí temos que a interseção entre essas duas curvas ocorrem em:

x = x 2 ∴ x - x 2 = 0 ∴ x 1 - x = 0 ∴ x = 0 , x = 1

Daí a gente pode dizer que no eixo x , nossa região está limitada assim:

0 ≤ x ≤ 1

E no eixo y , ela está limitada por cima por y = x e por baixo por y = x 2 , assim, dizemos:

x 2 ≤ y ≤ x

Nossa integral fica

∫ γ F → d r → = ∫ 0 1 ∫ x 2 x 3 - 2 y d y d x

Repara que integramos primeiro em relação a y , porque ele está entre funções de x .

A ideia é calcular o valor da integral de linha sobre γ calculando essa integral dupla da direita.

Passo 4

Bora calcular

∫ γ F → d r → = ∫ 0 1 ∫ x 2 x 3 - 2 y d y d x

∫ γ F → d r → = ∫ 0 1 3 y - 2 y 2 2 x 2 x d x

∫ γ F → d r → = ∫ 0 1 3 x - x 2 - 3 x 2 - x 4 d x

∫ γ F → d r → = ∫ 0 1 3 x - x 2 - 3 x 2 + x 4 d x = ∫ 0 1 3 x - 4 x 2 + x 4 d x

∫ γ F → d r → = 3 x 2 2 - 4 3 x 3 + x 5 5 0 1 = 3 2 - 4 3 + 1 5

∫ γ F → d r → = 11 30

Resposta

O campo não é conservativo.

∫ γ F → d r → = 11 30

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