Campos conservativos
Considere o campo vetorial
- Sem calcular funções potenciais, diga se possui potencial escalar.
- Encontre a família de funções potenciais para .
- Suponha que é um campo de forças. Calcule o trabalho realizado por para deslocar uma partícula ao longo da curva .
(o aluno não poderá apresentar a resposta por tentativa e erro, mas deverá desenvolver um método e verificar o resultado obtido.)
c1) que limita o triângulo de vértices e , orientado nesse sentido.
c2 que liga os pontos a .
Passo 1
Letra a)
Como o campo é de classe e está definido em todo (não temos singularidades), basta calcularmos o rotacional:
Show, mostramos que o campo é conservativo.
Passo 2
Letra b)
Vamos calcular então, temos:
Onde é o operador de derivadas parciais:
Temos então o seguinte:
Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.
Comparando as equações, vemos que:
O que nos dá
Passo 3
Letra c1)
O problema nos pede a integral de linha de ao longo de , onde é um triângulo. Bem, se o campo é conservativo, está definido em todo o e a curva é fechada, então a integral de linha é igual a zero.
Podemos ver isso assim também:
Pois , logo, .
Passo 4
Letra c2)
O problema nos pede a integral de linha
E, pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:
Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.
Ou seja, temos:
Resposta
- O campo é conservativo.