Campos conservativos
Seja
- Mostre que é conservativo.
- Calcule, onde .
Passo 1
Item (i)
Bom, a gente poderia começar calculando o rotacional desse campo, na verdade, apenas o termo porque só temos coordenadas. Mas repara que o problema pediu para a gente provar que (não se) o campo é conservativo e depois calcular a integral de linha que ele pede.
Logo, já sabemos que ele é conservativo. Claro, calcular o rotacional prova isso, mas calcular a função potencial do campo também. E isso, já vamos fazer de qualquer forma para calcular a integral de linha, então não vamos perder tempo, vamos calcular a função potencial direto né.
Vamos calcular então, temos:
Onde é o operador de derivadas parciais:
Temos então o seguinte:
Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.
Comparando as equações, vemos que:
O que nos dá
Como encontramos uma função potencial, o campo é conservativo.
Passo 2
Item (ii)
Bom, se o campo é conservativo, podemos calcular a integral de linha que o problema pede usando sua função potencial, não é?
Pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:
Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.
Para descobrir os pontos e , precisamos substituir e na parametrização da curva:
Agora é só calcular e .
Logo,