Campos conservativos
Considere a curva plana parametrizada por
- Calcule a integral de linha
- Calcule a integral de linha
Onde é a curva definida pela parametrização de .
Onde é a curva plana definida pela parametrização
Passo 1
Letra c)
Agora ele pede a integral de linha
Repara que
Logo, esse campo, que não apresenta singularidades, é conservativo. Então, podemos resolver isso aqui por função potencial, o que parece ser mais ismples, já que a expressão do campo não é muito complexa.
Passo 2
Vamos calcular a função potencial então, temos:
Onde é o operador de derivadas parciais:
Temos então o seguinte:
Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.
Comparando as equações, vemos que:
O que nos dá
Passo 3
Agora, precisamos descobrir os pontos inicial e final da curva, substituindo e na parametrização da curva:
Passo 4
O problema nos pede a integral de linha
E, pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:
Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.
Ou seja, temos:
Passo 5
Letra c)
Bom, vamos fazer o mesmo que fizemos no item anterior. Já que já temos a função potencial, basta calcular os pontos inicial e final dessa nova curva, substituindo e na sua parametrização:
Se você reparar, tem os pontos inicial e final intertidos em relação a . Ou seja, vai de para e vai de para de novo. Portanto, a integral em é menos a integral em , que nós já calculamos:
Beleza? Você poderia ter resolvido essa questão com a fórmula da integral de linha vetorial também, mas daria um pouquinho mais de trabalho
Resposta
- 4