UFAM– Cálculo 2 – PF – Questão 3b
Dada
- Ache uma função tal que
Passo 1
Oi, tudo bem?
Como essa é uma continuação, vou recapitular aqui: no primeiro item verificamos que esse campo é conservativo, assim podemos escrever
O que nos levou a essa igualdade
Então temos duas equações para essa :
Agora nesse segundo item o problema pede para acharmos essa ! A ideia aqui é integrar uma das equações. Mas como temos a derivada parcial, podemos estar perdendo alguma parte que dependa só da outra variável, aí com a ajuda da segunda equação vamos achar toda função escalar !
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Pegando a parcial em :
Vamos integrar dos dois lados, assim vamos achar quem é nossa :
Para integrar aquele usei substituição simples, fazendo , ok?
Ela representa a ‘constante de integração’, isso porque integramos uma coisa que era a derivada parcial em , isso significa que qualquer função que dependa de ficou escondida!
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos derivar a função que encontramos em relação a , e comparar com a segunda equação (aquela do passo 1, lembra?) Assim podemos identificar o que ficou “perdido”.
Do passo anterior
Derivando em :
E comparar com a segunda equação do passo 1, essa aqui:
Daí comparando temos:
E integrando temos:
Viu como tínhamos perdido uma parte só em y!
Agora nossa ficou completa:
Ufa! Terminamos!
Até próxima!