Teorema de Stokes
Determine se o campo vetorial
É conservativo. Calcule a integral de linha em que é a curva dada por
Passo 1
Vamos começar calculando o rotacional desse campo:
Como , sabemos que o campo é conservativo.
Passo 2
Bom, como o campo é conservativo, podemos calcular a integral de linha que o problema pede usando sua função potencial, não é?
O problema nos pede a integral de linha
E, pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:
Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.
Vamos calcular então, temos:
Onde é o operador de derivadas parciais:
Temos então o seguinte:
Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.
Comparando as equações, vemos que:
O que nos dá
Passo 3
Como o problema define a curva assim:
O ponto corresponde a , que nos dá
Para , temos :
Passo 4
Agora é só calcular e :
Logo,