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Exercícios Resolvidos de Função Potencial

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Enunciado

Questão 2) Considere o campo vetorial

F → x ,   y = 2 x y 2 + 1 ,   - 2 y x 2 + 1 y 2 + 1 2

  1. Mostre que F → é conservativo sem calcular um potencial.
  2. Obtenha um potencial para F → .
  3. Calcule ∫ C   F → ⋅ d r → , onde C é a parte da curva dada por r → t = t 3 - 1 ,   t 6 - t para 0 ≤ t ≤ 1 .

Passo 1

a )

Bem, um campo só tem potencial se ele não tiver problema onde estivermos trabalhando.

Isso acontece, pois o campo F → x ,   y não tem nenhum problema no seu domínio:

F → x ,   y = 2 x y 2 + 1 ,   - 2 y x 2 + 1 y 2 + 1 2

A única coisa que poderia dar errado aí seria o denominador ser 0 para algum ponto, mas y 2 + 1 é totalmente maior que 0 .

Por isso dizemos que o domínio é simplesmente conexo

Passo 2

A outra condição é o aquela subtração famosa das derivadas parciais serem 0 ...

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0

Então calculando esses caras, lembrando que, por questão de nomenclatura...

F x ,   y = P ,   Q = 2 x y 2 + 1 ,   - 2 y x 2 + 1 y 2 + 1 2

ou seja, a P é a primeira e Q é a segunda entrada....

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x - 2 y x 2 + 1 y 2 + 1 2 →

Derivando...

∂ Q ∂ x = - 2 y y 2 + 1 2 ∂ x 2 + 1 ∂ x   →

∂ Q ∂ x = - 4 x y y 2 + 1 2

Calculando a outra derivada

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y 2 x y 2 + 1 →

Tomando muito cuidado na hora da derivada da fração...

∂ P ∂ y = y 2 + 1 ⋅ ∂ ∂ y 2 x - 2 x ⋅ ∂ ∂ y y 2 + 1 y 2 + 1 2     →

∂ P ∂ y = y 2 + 1 ⋅ 0 - 2 x ⋅ 2 y y 2 + 1 2   →

∂ P ∂ y = - 4 x y y 2 + 1 2   →

Epa! Se fizermos

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = - 4 x y y 2 + 1 2 - - 4 x y y 2 + 1 2   →

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0

Corta, corta e realmente zera!

Isso quer dizer que o campo tem função potencial que simplifica a nossa vida, bora encontra-lo?

Passo 3

b )

Ok! Aqui devemos lembrar-nos da teoria, beleza?

Se ele é conservativo então ele satisfaz F → = ∇ ω . Mas quem é esse ômega que apareceu aí? :\

Esse ômega é a função potencial, e pela teoria o gradiente dela deve ser igual ao campo F , só isso, beleza?

∂ ω ∂ x ,   ∂ ω ∂ y = 2 x y 2 + 1 ,   - 2 y x 2 + 1 y 2 + 1 2

Portanto a gente pode dizer que

I                 ∂ ω ∂ x = 2 x y 2 + 1                                              

I I                 ∂ ω ∂ y = - 2 y x 2 + 1 y 2 + 1 2                    

Passo 4

Então o que a gente deve fazer agora é pegar a primeira I , pois está mais fácil, e integrar com relação a x

ω x , y = ∫     2 x y 2 + 1 d x + g ( y )

Note que aparece um g ( y ) aí, porque pensa comigo: se derivarmos ω em relação à y ela some, certo? Pois ela vira uma constante em relação à y . Então integramos ela volta. Como se fosse a constante de integração, saca? Mas não se preocupe... No próximo passo a determinamos

Integrando considerando y constante...

ω x , y = 1 y 2 + 1 ∫     2 x d x + g y →

ω x , y = x 2 y 2 + 1 + g ( y )

Passo 5

Como eu disse, vamos agora determinar g ( y ) , e como podemos fazer isso? Derivando ω com relação à y e depois comparando com o que temos em I I ...

∂ ω ∂ y = ∂ ∂ y x 2 y 2 + 1 + g y →

∂ ω ∂ y = ∂ ∂ y x 2 y 2 + 1 + g ' ( y )

Verifique que a derivada em relação y de uma função eu só depende de y é uma derivada normal lá de cálculo 1 ;).

Calculando essa derivada entre parênteses novamente aplicando a regra da cadeia...

∂ ∂ y x 2 y 2 + 1 = y 2 + 1 ⋅ ∂ ∂ y x 2 - x 2 ⋅ ∂ ∂ y y 2 + 1 y 2 + 1 2     →

∂ ∂ y x 2 y 2 + 1 = - 2 y x 2 y 2 + 1 2  

Logo...

∂ ω ∂ y = - 2 y x 2 y 2 + 1 2 + g ' ( y )

Comparando agora com o que temos em ( I I ) do passo 3...

- 2 y x 2 y 2 + 1 2 + g ' y = - 2 y x 2 + 1 y 2 + 1 2     →

- 2 y x 2 y 2 + 1 2 + g ' y = - 2 y x 2 y 2 + 1 2 - 2 y y 2 + 1 2

Cortando essas coisas iguais dos dois lados...

g ' y = - 2 y y 2 + 1 2

Integrando dos dois lados para obter a função g ...

Passo 6

∫ g ' y d y = - ∫ 2 y y 2 + 1 2 d y →

Fazendo uma substituição simples...

y 2 + 1 = a   →           d a = 2 y d y

- ∫ 2 y y 2 + 1 2 d y = - ∫ 1 a 2 d a =

Integrando...

- - 1 a = 1 a

Finalmente voltando para a variável original...

g y = 1 y 2 + 1 + c

Tomando essa constante c como zero (ela é indiferente pra nós aqui ), uma função potencial para a F é

ω x , y = x 2 y 2 + 1 + g ( y )

ω x , y = x 2 y 2 + 1 + 1 y 2 + 1

Esse é um potencial para o campo F → !

Passo 7

c )

Pela teoria, se ω é uma função potencial para F → , então

∫ C   F → ⋅ d r → = ω B - ω ( A )

Onde B é o ponto final e A é o de inicio. Para encontrar esses pontos basta substituir o t final e inicial na curva...

r → t = t 3 - 1 ,   t 6 - t ,             t ∈ 0 ,   1

A = r → 0 = 0 3 - 1 ,   0 6 - 0 =

- 1 ,   0

E o B ...

B = r → 1 = 1 3 - 1 ,   1 6 - 1 =

0 ,   0

Logo...

ω x , y = x 2 y 2 + 1 + 1 y 2 + 1 →

ω B = ω 0 ,   0 = 0 2 0 2 + 1 + 1 0 2 + 1 = 1

e

ω A = ω - 1 ,   0 = - 1 2 0 2 + 1 + 1 0 2 + 1 = 2

∫ C   F → ⋅ d r → = ω B - ω A

∫ C   F → ⋅ d r → = 1 - 2 =

- 1

Resposta

a )

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0       e     o     d o m í n i o     s i m p l e s m e n t e   c o n e x o .

b )

ω x , y = x 2 y 2 + 1 + 1 y 2 + 1

c )

- 1

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