Origem do Exercício
Quais dos campos abaixo não são conservativos?
Passo 1
Vamos lembrar da definição de um campo conservativo .
Se existir uma função escalar cujo gradiente é o campo vetorial , então é conservativo. Bem simples né? Lembre-se de que o gradiente de uma função é calculado assim:
Esse é chamado de “potencial” do campo .
Nesse caso, como queremos achar os campos que não são conservativos, é útil saber o seguinte: se o rotacional de um campo vetorial é diferente de zero, então ele não pode ser conservativo! Lembre-se de que o rotacional é calculado assim:
Passo 2
Vamos começar pelo primeiro então, infelizmente isso exige uma análise um pouco subjetiva.
Veja se consegue achar uma função cujo gradiente dê esse campo aqui:
Sim! A função é a seguinte:
Vamos calcular o gradiente para conferir:
Beleza, provamos que existe um potencial para o primeiro campo, e portanto ele é conservativo.
Passo 3
Agora vamos olhar o segundo:
Dessa vez o potencial não é tão óbvio, então vamos usar uma técnica para procurá-lo.
Começamos fazendo a integral indefinida de todas as componentes:
Beleza, demos sorte, todas as integrais indefinidas são iguais se as constantes forem nulas! Isso quer dizer que o nosso potencial é:
E então o campo é conservativo!
Passo 4
No terceiro campo, como temos funções mais ou menos simples, vamos logo calcular o rotacional, se der diferente de zero a gente já sabe que não é conservativo. Se for igual a zero temos que continuar verificando.
Substituindo o campo na fórmula:
Resolvendo todas essas derivadas, achamos o seguinte:
Beleza, o rotacional não é nulo, então esse campo não é conservativo.
Passo 5
O campo IV também tem funções mais ou menos simples:
Então vamos calcular o rotacional dele logo de cara e ver no que dá:
Esse rotacional também não é nulo, então o campo IV também não é conservativo.
Passo 6
O campo V segue o mesmo padrão dos dois campos anteriores:
Calculando o rotacional:
O rotacional não é nulo, então o campo não é conservativo.
Passo 7
O campo VI é um pouco mais complicado, então não vale a pena calcular o rotacional. Vamos tentar achar o potencial por aquele método das integrais, ou seja, vamos integrar cada uma das componentes do campo:
Esse é um caso interessante. Quando as integrais derem resultados diferentes, tente “juntar” as três soluções e ver se o resultado já é um potencial (frequentemente a resposta é sim):
Perceba que nós não somamos os resultados, fizemos uma espécie de “união”. Vamos calcular o gradiente para ver se esse é um campo potencial:
Que é exatamente o campo que tínhamos no início, ou seja, achamos um potencial, então esse campo é conservativo.
Resposta
Os campos e não são conservativos.