Questão 3: Considere o campo
- Mostre que é conservativo.
- Determine um potencial para (isto é, uma função escalar tal que ).
- Encontre o ponto na esfera tal que a integral de linha do campo sobre qualquer caminho ligado a origem a satisfaz
Passo 1
Item I)
Ouvi conservativo??? Então a primeiríssima coisa que você tem que ver é se o campo funciona em todos os pontos do espaço. Em outras palavras, é verificar se ele é simplesmente conexo!
Pow! Olha para o nosso campo:
Ele é formado por expressões que funcionam em todo o espaço ! Então sim! O campo é simplesmente conexo em todo .
Mas a análise não acabou por aqui, neh? Bora para o último quesito...
Passo 2
O último quesito é verificar se ele é irrotacional. Em termos de matemática no caso do campo :
No nosso caso, temos:
Então, calculando cada uma dessas derivadas parciais...
Então de fato concluímos que o campo é conservativo!
Passo 3
Item II)
No caso devemos calcular o potencial do campo . De acordo com a Teoria, é uma função potencial de se:
Por igualdade de vetores...
Então partiu resolver essas equações diferenciais!
Passo 4
Primeiro vamos resolver a equação :
Lembre-se de integrar considerando o constante:
Esse é uma constante de integração perante , mas é uma função das variáveis que não foi integrada, afinal se derivarmos novamente em relação a , ela desaparece, logo, na integração ela renasce das cinzas !
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda equação de modo análogo:
Integrando considerando tudo que não é como constante...
Novamente, apareceu esse que é uma constante perante , mas é uma função das variáveis que não foram integradas!
Passo 6
Por último, calculemos a terceira equação:
Esse é o mesmo motivo da e da anteriormente comentado.
Passo 7
Com essas três equações resolvidas chagamos ao seguinte resultado:
O resultado mesmo vai ser a junção desses três em um só, da seguinte maneira:
- Primeiro devemos colocar cada um dos termos que se repetem uma única vez:
- Agora entra os termos que não se repetem:
- Por último, no lugar das funções e , colocamos uma constante real ...
Como o problema nos pediu um potencial (e não uma família de potenciais) podemos adotar e assim um potencial para é:
Passo 8
Item III)
De acordo com a teoria, dado um potencial para , podemos calcular uma integral de linha apenas com o ponto inicial e um ponto final :
No caso
Então:
Para isso ser , basta encontrarmos um ponto em que , onde , pertence a esfera , logo:
Colocando o em evidência...
Como
Isso só é verdade se e , portanto, o único ponto que satisfaz a condição pedida é...
Resposta
Item I) Domínio simplesmente conexo e campo irrotacional.
Item II)
Item III)