Considere o campo
a) Verifique que é conservativo e calcule tal que .
b) Seja uma superfície de nível da função , do item anterior. Calcule
onde e são dois pontos arbitrários de .
Passo 1
a) Um bom começo para verificar se um campo é conservativo é calcular o rotacional dele. Usamos essa fórmulinha:
Nosso campo é:
Então precisamos calcular:
Cara, o rotacional deu um vetor nulo. Quando achamos esse valor podemos suspeitar que nosso campo é conservativo. Aí como a gente confirma as nossas suspeitas?
A gente tem que olhar para as funções que definem as componentes do nosso campo, e analisar se elas são contínuas para todo e se suas derivadas são contínuas.
Olha para esse bonito:
Vemos que as funções não tem nenhum tipo de restrição no domínio (tipo, um denominador que pode zerar) e nem suas derivadas terão. E isso diz para gente que o campo está bem definido para todo como precisamos, e então ele é conservativo mesmo!
Passo 2
Ele quer que a gente ache a função potencial desse campo. O vetor gradiente dela é igual ao campo . Aí podemos escrever:
Daí a gente tira que:
A ideia aqui é que a gente precisa achar a expressão de através dessas derivadas parciais. Fazendo o caminho inverso da derivação: a integração.
Olhando para a derivada parcial em , vamos integrar sua expressão em relação a , fazendo o caminho inverso:
E quem é aquele termo ali? É porque se a gente derivar em relação a e tiver umas funções de e somando do lado, elas zeram né? Então quando a gente faz o caminho inverso, precisamos supor que elas poderiam estar ali na nossa função.
Aí fazendo o mesmo para as outras derivadas:
Passo 3
Agora a gente compara todas expressões que achamos para , para descobrir quando vale e :
Repara que aparece em todas, então com certeza nossa função tem esse cara.
Repara que aparece o termo na última expressão, mas ele está representado por e nas outras expressões, então ele também aparece. E a gente vê também que não existe nenhum termo só de e .
Com essas observações, a gente chega na nossa função:
Passo 4
Para achar uma superfície de nível da nossa função é só igualar ela a um valor constante (genérico mesmo). Assim:
Ele quer que a gente calcule a integral de linha vetorial de a , no nosso campo , sendo que esses pontos pertencem a superfície da linha anterior.
Como o nosso campo é conservativo, a integral de linha vetorial não depende do caminho. Na verdade, a gente pode usar a nossa função potencial para escrever que ela vale:
Passo 5
É a diferença entre o valor da nossa função potencial nos dois pontos dados! Vamos dar uns nomes genéricos para as coordenadas desses pontos:
Vamos substituir isso na nossa continha ali para a integral, sabendo que
Mas lembra que e pertencem a nossa superfície de nível? Isso quer dizer que os dois pontos satisfazem a equação dela:
Por isso a gente pode escrever que:
Resposta
a)
b)