Um campo de forças bidimensional F → define-se por F → x , y = x + y i → + x - y j →

  1. Prove que o trabalho realizado por esta força ao deslocar uma partícula ao longo da curva r → t = f t i → + g t j → ,   a ≤ t ≤ b , depende unicamente de f a , f b , g a e g b .
  2. Determine o trabalho realizado quando f a = 1 , f b = 2 , g a = 3 e g b = 4

Passo 1

a )

Vamos começar vendo como calcular o trabalho de uma partícula. Lembre-se de que

W = ∫ C F → ∙ d s →

Ou seja, é a integral de linha de F → ao longo do caminho C . E pelo seu método de resolução clássico:

  1. Parametrizar a curva C que estamos trabalhando:
  2. r t = f t i → + g t j →

  3. Substituir os termos do campo vetorial F → x ,   y pelos termos da parametrização:
  4. F → x ,   y = F → f t , g t

  5. Encontrar o termo d s → :

d s → = r → ' t d t

Essa integral de linha vira:

∫ C F → ∙ d s → = ∫ F → f t , g t ∙ r → ' t d t

Essa integral é meio louca né, nem sei como resolvê-la. Mas repara que f a , f b , g a e g b são as coordenadas iniciais e finais da partícula

r → a = f a i → + g a j →

r → b = f b i → + g b j →

Então ele quer que você mostre que não depende do caminho, isso nos diz que temos que verificar se essa parada é conservativa. Saca?

Passo 2

Vamos verificar! Para isso precisamos calcular: como F → x , y = x + y i → + x - y j → ...

F 1 = x + y e F 2 = x - y , então:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1 - 1 = 0

Como esse termo deu 0 , e o campo está definido em todo o R 2 , esse campo é conservativo. Então não depende do caminho, podemos achar a função potencial e mostrar que ele depende apenas das coordenadas dos pontos. Vamos fazer isso

F 1 = ∂ f ∂ x

h = ∫ F 1 d x =

∫ x + y d x = x 2 2 + x y + A ( y )

Repare que surgiu uma “constante” que depende de y (afinal se derivarmos em relação a x esse resultado, A ( y ) desaparece, saca, então na integral ela aparece)... Fazendo o outro lado...

F 2 = ∂ f ∂ y

h = ∫ F 2 d y = ∫ x - y d y = x y - y 2 2 + B ( x )

B ( x ) é “constante” de integração que depende de x . Devemos ter:

x 2 2 + x y + A y = x y - y 2 2 + B ( x )

x 2 2 + A y = - y 2 2 + B ( x )

Se A y = y 2 2 e B x = x 2 2 , essa igualdade se verifica. Concluímos então que nossa função potencial pode ser escrita como:

h = x 2 2 + x y - y 2 2 + k

Onde k é uma constante.

Passo 3

Por propriedade desse tipo de integral, podemos calcular a integral de linha como

W = ∫ F → f t , g t ∙ r → ' t d t = h B - h A

Já vimos que

B = f b , g b

A = f a , g a

Então

W = f b 2 2 + f b g b - g b 2 2 + k - f a 2 2 + f a g a - g a 2 2 + k

W = f b 2 2 + f b g b - g b 2 2 - f a 2 2 - f a g a + g a 2 2

Então o trabalho só depende de f a , f b , g a e g b !

Passo 4

b )

Vamos substituir os valores de f a , f b , g a e g b na equação do trabalho

W = 2 2 2 + 2.4 - 4 2 2 - 1 2 2 - 1.3 + 3 2 2 = 2 + 8 - 8 - 1 2 - 3 + 9 2 = 8 2 - 1 = 4 - 1 = 3

Resposta

a )   W = f b 2 2 + f b g b - g b 2 2 - f a 2 2 - f a g a + g a 2 2

b )   3

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