Um campo de forças bidimensional define-se por
- Prove que o trabalho realizado por esta força ao deslocar uma partícula ao longo da curva , depende unicamente de , , e .
- Determine o trabalho realizado quando , , e
Passo 1
Vamos começar vendo como calcular o trabalho de uma partícula. Lembre-se de que
Ou seja, é a integral de linha de ao longo do caminho . E pelo seu método de resolução clássico:
- Parametrizar a curva que estamos trabalhando:
- Substituir os termos do campo vetorial pelos termos da parametrização:
- Encontrar o termo :
Essa integral de linha vira:
Essa integral é meio louca né, nem sei como resolvê-la. Mas repara que , , e são as coordenadas iniciais e finais da partícula
Então ele quer que você mostre que não depende do caminho, isso nos diz que temos que verificar se essa parada é conservativa. Saca?
Passo 2
Vamos verificar! Para isso precisamos calcular: como ...
e , então:
Como esse termo deu , e o campo está definido em todo o , esse campo é conservativo. Então não depende do caminho, podemos achar a função potencial e mostrar que ele depende apenas das coordenadas dos pontos. Vamos fazer isso
Repare que surgiu uma “constante” que depende de (afinal se derivarmos em relação a esse resultado, desaparece, saca, então na integral ela aparece)... Fazendo o outro lado...
é “constante” de integração que depende de . Devemos ter:
Se e , essa igualdade se verifica. Concluímos então que nossa função potencial pode ser escrita como:
Onde é uma constante.
Passo 3
Por propriedade desse tipo de integral, podemos calcular a integral de linha como
Já vimos que
Então
Então o trabalho só depende de , , e !
Passo 4
Vamos substituir os valores de , , e na equação do trabalho