Interpretando a curva , definida como onde , como sendo a função horária da posição de uma partícula , de massa , chame de a força resultante sobre .
(a) Calcule pela definição. Qual é a variação de energia cinética experimentada por ?
(b) Mostre que é um campo conservativo e calcule pelo teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.
(c) Existe uma função escalar tal que ?
Passo 1
Cara, essa questão pede pra gente calcular a integral de uma força que não sabemos nada sobre! Como faz isso?
Calma, calma! Na verdade, ele falou indiretamente sobre isso, se liga só:
Sabemos pela Física que a força resultante sobre um objeto é dada por
Beleza, o enunciado deu , mas não falou nada de aceleração, como achamos isso aqui?
Também pela Física, sabemos que
Onde é a velocidade e é a posição em função do tempo! E isso o enunciado disse pra gente que pode ser dado por ! Então
Derivando temos
Derivando pela segunda vez
Então a nossa aceleração é dada por
Com isso a força que precisamos integrar, , é
Passo 2
Beleza, encontramos a força, agora é só colocar na integral e calcular né?
Só pra relembrar, o valor de é igual a derivada da parametrização da curva, ou seja, .
Sendo assim
Integrando isso aí
Passo 3
A segunda pergunta da letra (a) é o valor da variação de energia cinética experimentada por . Também na física aprendemos que essa variação é igual ao trabalho da força resultante.
“Trabalho da força resultante”... Isso é exatamente o que calculamos! Lembra que o trabalho é calculado pela integral sobre o deslocamento de . Portanto
Logo a variação de energia cinética também é zero!
Passo 4
Para mostrar que é um campo conservativo, precisamos encontrar uma função potencial pra esse campo. Vamos começar vendo se o rotacional é zero, pra não fazer conta desnecessária
Como estamos pensando em só, e não em três dimensões, só precisamos calcular
Onde
Portanto o rotacional realmente é nulo, vamos agora tentar achar uma função potencial que satisfaça a relação
Ou seja
Passo 5
Vamos começar com essa primeira derivada
Indo pra segunda agora
Comparando os dois resultados de concluímos que
E o campo é conservativo!
Passo 6
Pelo teorema fundamental do cálculo para integrais de linha sabemos que, para um dado campo conservativo, podemos fazer
Só precisamos saber quem são os pontos final e inicial, descobrimos isso por , olha só:
Sabemos que
Onde
Quando , temos o valor de
Quando , temos o valor de
Substituindo esses pontos no teorema
Essa questão ta zoando a gente, né? Dá tudo zero!
Passo 7
A questão aqui pede pra dizer se existe uma função que seja igual à integral de linha do caso vetorial de , assim
A primeira integral está sendo aplicada sobre uma função, enquanto na segunda a gente tem um campo , são coisas bem diferentes, beleza?
A resposta depende de um conceito que diz que o campo que resulta na igualdade dessas integrais sempre existe quando a curva é lisa e simples. Em outras palavras, quando a curva é contínua!
Pra provar isso é só mostrar que a derivada da parametrização existe em todos os pontos do domínio!
No caso , então pra qualquer existe a derivada. Portanto com certeza existe um campo que satisfaça o pedido do enunciado. =D
Resposta
Sim