31) Calcule, onde
e é dada por...
- .
- .
Passo 1
Então, resolver uma integral de linha no caso vetorial, existem, agora, três formas de resolvê-la:
1º - Forma direta.
2º - Teorema de Green.
3º - Com funções potenciais.
Pra você saber qual desses três caminhos seguir, a dica é começar observando o campo:
Repare que ele é bem complicado para resolver de uma forma direta, então calculemos a subtração
Nesse exercício ele fez e , mas as contas são as mesmas
Calculando a segunda derivada tomando cuidado novamente com a regra do produto e a da cadeia...
Vamos ter
Epa!!! Esse cara deu !
Esse resultado sugeriria o teorema de Green, no entanto, se olharmos para as curvas, mais especificamente a curva da letra , vamos notar uma coisa, a curva é bem complexa e nem temos ideia de quem ela possa ser (inclusive se é fechada ou não).
Por isso, vamos escolher aqui o terceiro caminho: Com funções potenciais !
Passo 2
Sabemos que esse campo tem uma função potencial, pois essa subtração famosa deu e além disso o campo não tem problema de definição. Então, vamos agora buscar essa tal função pela definição de função potencial:
Como o gradiente de é:
Onde tiramos duas igualdades:
Passo 3
Com a segunda igualdade, que parece ser menos trabalhosa, calculemos uma integral “revertendo” a derivada e voltando para a função ...
Porém repare que apareceu uma função que depende somente de ali, pois caso derivemos novamente essa função em relação à , ela desaparece por ser considerado uma “constante” perante , logo... Na integral ela reaparece, sacou?
Calculando essa integral com relação à , portanto, tomando como uma constante, faça...
Passo 4
Basicamente essa é a função potencial, porém, como você pode ver, ainda falta uma coisa a descobrir, a função . Façamos isso utilizando a primeira igualdade...
Derivando a função que determinamos em relação à então...
Esse segundo termo de derivada é uma derivada simples, pois só depende de ...
Derivando...
E agora comparando com a igualdade número ...
Logo... A única forma dessa derivada zerar é se a função for uma constante...
Então a função potencial finalmente é
Passo 5
Para matar a letra e a letra , antes apenas lembre que com uma função potencial em mãos, calculamos uma integral de linha muito fácil tendo apenas o ponto inicial e o ponto final , pois...
Então...
Passo 6
Letra a) Como a curva é , o ponto inicial acontece quando ...
E o ponto ...
Como...
e é...
Então...
Passo 7
Letra b) Repetindo o processo mas agora para a curva da letra ...
Então...
e é...
Resposta
Letra a)
Letra b)