Encontre o trabalho realizado por sobre os caminhos de a a seguir.
- O segmento de reta , ,
- A hélice ,
- O eixo de a seguido pela parábola , de a .
Passo 1
Antes de tudo, como ele pede muitas integrais, mas com pontos inicial e final iguais, vale a pena conferir se essas integrais realmente dependem do caminho percorrido ou não, porque se não dependerem, vamos nos dar muito bem, só vamos precisar calcular uma delas, né?
A gente viu na teoria que para a integral não depender do caminho, o campo deve ser conservativo e uma condição suficiente pra isso é que o campo seja irrotacional e definido para o domínio. Então vamos conferir isso?
Passo 2
Já começamos com uma boa noticia porque o campo é definido para todo o , então não teremos problemas quanto a isso.
Só falta conferir o rotacional do campo:
Agora, vamos lembrar que campos conservativos devem ser irrotacionais, então vamos testar essa condição:
E então garantimos que o campo é conservativo, que ótimo!
Agora é só calcular a integral mais simples e reproduzir o resultado pra todos os itens. Vamos ver como que fica!
Passo 3
a)
O caminho do item parece o mais simples possível, já que é uma reta e tem duas coordenadas constantes, o que deixa o vetor tangente super tranquilo, vamos ver:
E o vetor tangente:
Muito simpático, vamos só jogar na integral:
Que não é uma integral trivial, mas da pra fazer por partes, né?
Passo 4
b)
Como dissemos, como o campo é conservativo, então a integral não depende do caminho e, para qualquer curva , vamos usar o resultado do item :
Passo 5
c)
Mais uma vez, vamos ter a independencia do caminho a nosso favor e, usando o resultado do item :
Resposta
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