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Exercícios Resolvidos de Função Potencial

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Enunciado

Questão 2: Seja h : R → R uma função escalar de classe C 1 e considere os campos vetoriais

F x ,   y = y 2 h ' x cos ⁡ y   h x , sin ⁡ y   h x + y   h x cos ⁡ y   h x

G x ,   y ,   z = h x e x 2 ,   e y 2 ,   e x 2 + y 2

  1. Sem calcular potenciais, determinar se F e G são conservativos;
  2. Se conservativos, calcular os potenciais de F e G ;
  3. Seja C a circunferência unitária centrada em 0 ,   1 e H o campo vetorial

H x ,   y = y 2 h ' x cos ⁡ y   h x + y , sin ⁡ y   h x + y   h x cos ⁡ y   h x + e x 2 + y 2

Calcular

∫ C   H   d r .

Passo 1

Letra a)

Ouvi conservativo??? Então a primeiríssima coisa que você tem que ver é se o campo funciona em todos os pontos do espaço. Em outras palavras, é verificar se ele é simplesmente conexo!

Pow! Olha para os nossos campos:

F x ,   y = y 2 h ' x cos ⁡ y   h x , sin ⁡ y   h x + y   h x cos ⁡ y   h x

G x ,   y ,   z = h x e x 2 ,   e y 2 ,   e x 2 + y 2

Ambos são formados por expressões que funcionam em todo o plano x y , ainda mais pelo fato de que h é uma função de classe C 1 ! Então sim! Os campos são simplesmente conexos em todo R 2 .

Mas a análise não acabou por aqui, neh? Bora para o último quesito...

Passo 2

O último quesito é verificar se ele é irrotacional. Em termos de matemática no caso do campo F :

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Onde F x ,   y = y 2 h ' x cos ⁡ y   h x ⏟ F 1 , sin ⁡ y   h x + y   h x cos ⁡ y   h x ⏟ F 2 :

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x sin ⁡ y   h x + y   h x cos ⁡ y   h x =

cos ⁡ y   h x ⋅ y h ' x + y h ' x cos ⁡ y   h x - h x ⋅ sin ⁡ y   h x ⋅ y   h ' x =

y h ' x cos ⁡ y   h x + y h ' x cos ⁡ y   h x - y 2 h x h ' x ⋅ sin ⁡ y   h x =

2 y h ' x cos ⁡ y   h x - y 2 h x h ' x ⋅ sin ⁡ y   h x

E...

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y y 2 h ' x cos ⁡ y   h x =

h ' x 2 y cos ⁡ y   h x - y 2 sin ⁡ y   h x ⋅ h x =

2 y h ' x cos ⁡ y   h x - y 2 h x h ' x ⋅ sin ⁡ y   h x

Logo, de fato:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

O que torna o campo F conservativo!

Passo 3

Ainda falta verificar o G :

G x ,   y ,   z = h x e x 2 ,   e y 2 ,   e x 2 + y 2

No caso, o rotacional de um campo no espaço é:

r o t G = ∂ G 3 ∂ y - ∂ G 2 ∂ z ,   ∂ G 1 ∂ z - ∂ G 3 ∂ x ,   ∂ G 2 ∂ x - ∂ G 1 ∂ y       →

r o t G = e x 2 + y 2 ⋅ 2 y - 0 ,   0 - e x 2 + y 2 ⋅ 2 x ,   0 - 0       →

r o t G = 2 y e x 2 + y 2 ,   - 2 x e x 2 + y 2 ,   0

Como o rotacional é diferente de 0 ,   0 ,   0 , o campo G não é conservativo!

Passo 4

Letra b)

No caso devemos calcular o potencial apenas do campo F , já que ele é o único conservativo. De acordo com a Teoria, f é uma função potencial de F se:

F = ∇ f   →

y 2 h ' x cos ⁡ y   h x , sin ⁡ y   h x + y   h x cos ⁡ y   h x = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y   →

∂ f ∂ x = y 2 h ' x cos ⁡ y   h x         I

∂ f ∂ y = sin ⁡ y   h x + y   h x cos ⁡ y   h x         I I

Então partiu resolver essas equações diferenciais!

Passo 5

Primeiro vamos resolver a equação I :

∂ f ∂ x = y 2 h ' x cos ⁡ y   h x           →

f = ∫ y 2 h ' x cos ⁡ y   h x   d x

Integrando fazendo uma mudança

y   h x = t

Onde

d t = y h ' x d x

Assim

f = ∫ y cos ⁡ t   d t =

Lembre-se de integrar considerando o y constante:

y sin ⁡ t + K y =

y sin ⁡ y   h x + K y

Esse K y é uma constante de integração perante x , mas é uma função da variável que não foi integrada, afinal se derivarmos novamente em relação a x , ela desaparece, logo, na integração ela renasce das cinzas !

Passo 6

Agora vamos encontrar esse K y derivando essa f em relação a y e depois comparando com a segunda equação do Passo 4:

f = y sin ⁡ y   h x + K y               →

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y y sin ⁡ y   h x + K y =

∂ ∂ y y sin ⁡ y   h x + ∂ ∂ y K y =

sin ⁡ y   h x + y cos ⁡ y   h x ⋅ h x + ∂ ∂ y K y

Comparando com...

∂ f ∂ y = sin ⁡ y   h x + y   h x cos ⁡ y   h x         I I

Chegamos à conclusão que:

∂ ∂ y K y = 0

Logo a função K y é uma constante real qualquer...

K y = k

E concluímos que a função potencial de F :

f = y sin ⁡ y   h x + k

Passo 7

Letra c)

Vamos considerar:

H x ,   y = y 2 h ' x cos ⁡ y   h x + y , sin ⁡ y   h x + y   h x cos ⁡ y   h x + e x 2 + y 2 =

y 2 h ' x cos ⁡ y   h x , sin ⁡ y   h x + y   h x cos ⁡ y   h x + y ,   e x 2 + y 2 =

F x ,   y + I x ,   y

Então:

∫ C   H   d r = ∫ C   F x ,   y   d r + ∫ C   I x ,   y   d r

Vamos então calcular essas duas integrais nos próximos passos !

Passo 8

Com relação a integral de linha de F , sabemos que F é conservativo, então:

∫ C   F x ,   y   d r = f B - f A

Onde B é o ponto final da curva C e o A o ponto inicial. Como a curva C é uma circunferência de raio unitário e centrada no ponto 0 ,   1 :

O ponto inicial A = 0 ,   2 e o ponto final B = 0 ,   2 são os mesmos, então:

∫ C   F x ,   y   d r = f B - f A = 0

Passo 9

Agora, com relação a integral de I ...

∫ C   I x ,   y   d r

Temos que calcular do jeito tradicional:

  1. Parametrizar a curva:

    2. x = cos ⁡ t

    y = 1 + sin ⁡ t

    Logo

    α t = cos ⁡ t ,   1 + sin ⁡ t ,       c o m       0 ≤ t ≤ 2 π

  2. Calcular o termo d s :

    3. d r = α ' t d t     →

    d r = - sin ⁡ t , cos ⁡ t     d t  

  3. Substituir os termos da parametrização:

I x ,   y = y ,   e x 2 + y 2       →

I α t = 1 + sin ⁡ t ,   e cos 2 ⁡ t + 1 + sin ⁡ t 2       →

I α t = 1 + sin ⁡ t ,   e cos 2 ⁡ t + 1 + 2 sin ⁡ t + sin 2 ⁡ t       →

I α t = 1 + sin ⁡ t ,   e 1 + 2 sin ⁡ t + 1       →

I α t = 1 + sin ⁡ t ,   e 2 + 2 sin ⁡ t       →

∫ C   I x ,   y   d r = ∫ 0 2 π 1 + sin ⁡ t ,   e 2 + 2 sin ⁡ t   - sin ⁡ t , cos ⁡ t d t =

∫ 0 2 π - sin ⁡ t - sin 2 ⁡ t + cos ⁡ t e 2 + 2 sin ⁡ t d t =

∫ 0 2 π - sin ⁡ t d t + ∫ 0 2 π - sin 2 ⁡ t d t + ∫ 0 2 π cos ⁡ t e 2 + 2 sin ⁡ t d t =

cos ⁡ t 0 2 π - ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ t d t + ∫ 0 2 π cos ⁡ t e 2 + 2 sin ⁡ t d t

No caso da segunda integral, podemos fazer:

sin 2 ⁡ t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

∫ 0 2 π sin 2 ⁡ t d t = ∫ 0 2 π 1 2 - cos ⁡ 2 t 2 d t =

1 2 t - sin ⁡ 2 t 4 0 2 π = π

No caso da terceira integral:

∫ 0 2 π cos ⁡ t e 2 + 2 sin ⁡ t d t

Podemos integrar 2 + 2 sin ⁡ t = x ,

d x = 2 cos ⁡ t d t       o u     cos ⁡ t d t = d x 2

t = 0       →           x = 2

t = 2 π       →         x = 2

Logo:

∫ 0 2 π cos ⁡ t e 2 + 2 sin ⁡ t d t = 0

Então:

∫ C   I x ,   y   d r = cos ⁡ t 0 2 π - ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ t d t + ∫ 0 2 π cos ⁡ t e 2 + 2 sin ⁡ t d t   →

∫ C   I x ,   y   d r = 0 - π + 0 = - π

Resposta

Letra a)

F   é   c o n s e r v a t i v o

Q   n ã o   é   c o n s e r v a t i v o

Letra b)

f = y sin ⁡ y   h x + k

Letra c)

∫ C   I x ,   y   d r = - π

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