Campos conservativos
Seja um campo vetorial. Calcule a integral de linha de sobre a curva dada pela parametrização .
Passo 1
Tentar resolver essa integral aqui pela definição parece impossível, né? Tem vários expoentes em e a própria definição da curva já é difícil.
Como estamos trabalhando só no plano aqui, vamos ver se o campo é conservativo calculando
Logo, o campo é conservativo! Podemos calcular essa integral de linha usando função potencial.
Passo 2
Pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:
Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.
Vamos calcular então, temos:
Onde é o operador de derivadas parciais:
Temos então o seguinte:
Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.
Comparando as equações, vemos que:
O que nos dá
Passo 3
Como o problema define a curva assim:
O ponto corresponde a , que nos dá
Para , temos :
Passo 4
Agora é só calcular e :
Logo,