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Exercícios Resolvidos de Função Potencial

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Enunciado

Questão 4: Determine se

F → x ,   y = ln ⁡ y + 2 x y 3 ,   3 x 2 y 2 + x y

É ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f .

Passo 1

Ouvi conservativo? Então a primeiríssima coisa que você tem que ver é se o campo funciona em todos os pontos do espaço. Em outras palavras, é verificar se ele é simplesmente conexo!

Pow! Olha para o nosso campo

F → x ,   y = ln ⁡ y + 2 x y 3 ,   3 x 2 y 2 + x y

Bem, veja que como temos y dentro do l n , temos que ter um...

y > 0

O y também está no denominador, mas ele já não pode ser 0 a muito tempo (na análise do l n a gente percebe isso). Logo, em todo o domínio de F → , podemos falar que ele é simplesmente conexo sim!

Passo 2

Para o campo ser conservativo também, outra coisa que precisa acontecer é essa parada aqui ser verdadeira

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

OBS: Esse termo do primeiro membro é aquela famosa subtração que utilizamos no Teorema de Green, se lembra? F 1 e F 2 são as componentes do campo...

F → x ,   y = F 1 ,   F 2 = ln ⁡ y + 2 x y 3 ,   3 x 2 y 2 + x y

Derivando...

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x 3 x 2 y 2 + x y = 6 x y 2 + 1 y

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y ln ⁡ y + 2 x y 3 = 6 x y 2 + 1 y

Substituindo...

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 6 x y 2 + 1 y - 6 x y 2 + 1 y =

0

Veja que o resultado é sim 0 tornando o campo conservativo!

Passo 3

Outro pedido do problema foi que se o campo fosse conservativo (e ele é), encontrar uma função potencia f para o campo F → . Por definição de campo conservativo e função potencial...

F → = ∇ f

Esse segundo termo, se você não se recorda, é a gradiente da função ômega definido como sendo o vetor de derivadas parciais...

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Pela igualdade de função vetorial então temos que...

F → = ∇ f           →                 ln ⁡ y + 2 x y 3 ,   3 x 2 y 2 + x y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Por igualdade de vetor...

1 º )                   ∂ f ∂ x = ln ⁡ y + 2 x y 3

      2 º )                   ∂ f ∂ y = 3 x 2 y 2 + x y              

O que vamos fazer aqui agora, basicamente é ressorver essas equações diferenciais e tirar o valor de f (a função potencial )

Passo 4

Da primeira equação diferencial...

1 º )                   ∂ f ∂ x = ln ⁡ y + 2 x y 3

Podemos, grosso modo, “passar” o d x pra lado de lá e integrar dos dois lados...

  ∂ f = ln ⁡ y + 2 x y 3 ∂ x

Integrando...

∫     d f = ∫     ln ⁡ y + 2 x y 3 d x →

f = ∫     ln ⁡ y + 2 x y 3 d x →

Integrando com relação a x agora (tome y sendo uma constante)...

f = ln ⁡ y ⋅ x + x 2 y 3 + C y

Veja que aparece um C ( y ) ! Você pode pensar nela como uma constante de integração, mas como integramos em x e a função tem outra variável, a “constante” passa a depender dessa outra variável, saca? Se você ainda não estiver convencido, derive essa função f com relação à x ! Você vai reparar que a C y some por depender somente de y !

Passo 5

Beleza, mas agora vamos resolver a segunda equação de modo análogo...

      2 º )                   ∂ f ∂ y = 3 x 2 y 2 + x y         →

∂ f = 3 x 2 y 2 + x y ∂ y     →

∫     d f = ∫     3 x 2 y 2 + x y d y   →

(Agora, para integrar em y tome x como uma constante):

f = x 2 y 3 + x ⋅ ln ⁡ y + C x

Agora apareceu C x pelo mesmo motivo de C y ali em cima.

Passo 6

Veja que nos dois últimos passos, encontramos duas funções diferentes...

    1 º )                       f = ln ⁡ y ⋅ x + x 2 y 3 + C y              

2 º )                       f = x 2 y 3 + x ⋅ ln ⁡ y + C x            

A resposta verdadeira vai ser uma combinação das duas da seguinte forma:

  1. Todo termo igual, aparece uma só vez...

    2. f = x 2 y 3 + x ln ⁡ y …

  2. Todo termo diferente aparece também...

    3. N ã o   t e m   t e r m o   d i f e r e n t e …

  3. As funções C x e C y não coloca, mas no lugar dela, coloca uma constante k ...

f = x 2 y 3 + x ln ⁡ y + k

Basicamente a gente já acabou, pois encontrou todas as funções potenciais de f . Aí você poderia perguntar: “Todas?! Mas eu só vejo uma ”. Bem, repare que k é uma constante e pode valer qualquer número real. Pra cada um eu tenho uma resposta diferente, saca?

Como o problema nos pediu uma função f , podemos escolher um valor para k . Eu vou escolher k = 0 , mas fique a vontade para escolher o k que quiser !

f = x 2 y 3 + x ln ⁡ y

Resposta

f = x 2 y 3 + x ln ⁡ y

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