Seja o campo vetorial
- é conservativo? Por quê?
- Calcule , se é a curva descrita por ,
- Calcule , onde é a fronteira do plano , que fica no primeiro octante, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos começar vendo se esse cara é conservativo, para ele ser conservativo devemos achar o rotacional dele
Juntando isso tudo vamos ter
Então esse campo é conservativo.
Passo 2
Como o campo é conservativo vamos achar a função potencial, ou seja, a função onde
Assim vamos ter
Além disso, também temos
Além disso, também temos
Vamos comparar as três funções agora
Se olharmos com calma vamos ver que a função potencial vai ficar
Passo 3
Agora que temos a função potencial vamos ver os pontos de início e fim dessa curva, ela começa com
Então começa no ponto
E termina em
E termina no ponto
Vamos ter
Passo 4
Aqui não precisamos nem fazer contas, maroto isso né? Repara que a curva é fechada, e a integral de linha de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada vai ser sempre
Resposta
- Sim