22. Decida se o campo vetorial F dado é conservativo. Justifique, explicitando (se for o caso) uma função potencial f para F .

d) F x , y = - 2 y 3 . sin ⁡ x , 6 y 2 . cos ⁡ x + 5

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos saber se o campo F x , y = - 2 y 3 . sin ⁡ x , 6 y 2 . cos ⁡ x + 5 é conservativo e também queremos calcular a função potencial f desse campo.

Lembra como fazemos isso? 😉

Primeiramente, para descobrir se F é um campo conservativo, temos que analisar se F está definida em todo o espaço e tambem verificar se o rotacional de F é nulo.

Já para obter a função vetorial, caso o campo F seja conservativo, temos que saber que

F = ∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

E a partir daí podemos montar nossa função integrando essa equação...

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Se F x , y = - 2 y 3 . sin ⁡ x , 6 y 2 . cos ⁡ x + 5 vamos começar calculando seu rotacional

R o t F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z i + ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x j + ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y k

Substituindo nossa função, temos que

R o t F = ∂ 0 ∂ y - ∂ 6 y 2 cos ⁡ x + 5 ∂ z i + ∂ - 2 y 3 sin ⁡ x ∂ z - ∂ 0 ∂ x j + ∂ 6 y 2 cos ⁡ x + 5 ∂ x - ∂ - 2 y 3 sin ⁡ x ∂ y k

R o t F = 0 - 0 i + 0 - 0 j + - 6 y 2 sin ⁡ x + 6 y 2 sin ⁡ x k

R o t F = 0 →

Aqui o rotacional é nulo e analisando o campo F vemos que ele é definido em todo R 3 .

Portanto F é um campo conservativo.

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos calcular a função potencial...

F = ∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = - 2 y 3 . sin ⁡ x , 6 y 2 . cos ⁡ x + 5

∂ f ∂ x = - 2 y 3 . sin ⁡ x → ∂ f = - 2 y 3 sin ⁡ x ∂ x

∂ f ∂ y = 6 y 2 . cos ⁡ x + 5 → ∂ f = 6 y 2 cos ⁡ x ∂ y

Integrando nos dois lados, temos que

f = ∫ - 2 y 3 sin ⁡ x d x = 2 y 3 cos ⁡ x + g y

f = ∫ 6 y 2 cos ⁡ x d y = 2 y 3 cos �� x + g x

Portanto, vemos que a função potencial é dada por

f x , y = 2 y 3 cos ⁡ x + C

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f x , y = 2 y 3 cos ⁡ x + C

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