Campos conservativos
Seja .
- é conservativo? Justifique sua resposta.
- Calcule , para a curva dada por .
Passo 1
Item I
Bom, a gente vai começar calculando o rotacional desse campo, na verdade, apenas o termo porque só temos coordenadas. Temos o seguinte:
Como não temos nenhuma singularidade na expressão do campo e seu rotacional é nulo, podemos dizer que ele é conservativo.
Passo 2
Item II
Bom, se o campo é conservativo, podemos calcular a integral de linha que o problema pede usando sua função potencial, não é?
Pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:
Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.
Vamos calcular então, temos:
Onde é o operador de derivadas parciais:
Temos então o seguinte:
Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.
Obs:
Comparando as equações, vemos que:
O que nos dá
Passo 3
Como o problema define a curva assim:
O ponto corresponde a , que nos dá
Para , temos :
Passo 4
Agora é só calcular e :
Logo,
Resposta
- Conservativo.