Considerar a seguinte integral de linha
1. Mostre que o valor dessa integral é independente do caminho conectando os pontos e no semi-espaço
2. Calcule o valor da integral
3. Explique porque não é possível chegar a uma conclusão similar a do item para a integral
Passo 1
1) Existe singularidade em todo o plano , pois anula o denominador. Porém para essa questão, estamos considerando apenas o semiespaço onde , o que indica que para esse caso, o campo é simplesmente conexo (atenção para essa denominação!!!).
É possível verificar ainda que o rotacional desse campo é 0.
Dessa forma temos que o campo é conservativo e independe do caminho em .
Passo 2
2) A melhor forma de calcular essa integral é encontrar uma função potencial associado ao campo
Dessas três equações podemos ver que será então:
A integral agora fica fácil de calcular, é só pegar o potencial no ponto final menos o potencial no ponto inicial:
Passo 3
3) Nesse caso, qualquer caminho que utilizemos para ligar o ponto ao ponto passa pelo plano , assim o campo deixa de ser simplesmente conexo, não é mais conservativo e agora depende do caminho.
Resposta
1) Explicação no passo a passo.
2)
3) Explicação no passo a passo.