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Exercícios Resolvidos de Função Potencial

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Enunciado

Campos conservativos

Considere o campo vetorial

F x , y , z = ( cos ⁡ z e x , e y + y e y , - s e n z e x )

  1. Sem calcular funções potenciais, justifique se F é, ou nao, um campo conservativo.
  2. Se F for conservativo, encontre a família de funções potenciais.

    3. (o aluno não poderá apresentar a resposta por tentativa e erro, mas deverá desenvolver um método e verificar o resultado obtido.)

  3. Calcule

∫ C   F .   d r

Onde C é a curva parametrizada por r t = t π , cos ⁡ t ,   s e n   t ,   t   ∈ [ 0 , π ] .

Passo 1

Letra a)

Como o campo é de classe C 1 e está definido em todo R 2 (não temos singularidades), basta calcularmos o rotacional:

r o t F → = ∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = 0 - 0 , - s e n   z   e x + s e n   z   e x , 0 - 0 = ( 0,0 , 0 )

Show, mostramos que o campo é conservativo.

Passo 2

Letra b)

Vamos calcular f então, temos:

F → = ∇ f

Onde ∇ é o operador de derivadas parciais:

∇ = ∂ ∂ x ,   ∂ ∂ y ,   ∂ ∂ z

Temos então o seguinte:

( cos ⁡ z e x , e y + y e y , - s e n z e x ) = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ,   ∂ f ∂ z

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

∂ f ∂ x = cos ⁡ z e x → f x , y , z = cos ⁡ z e x + M ( y , z )

∂ f ∂ y = e y + y e y → f x , y , z = y e y + P ( x , z )

∂ f ∂ z = - s e n z e x → f x , y , z = cos ⁡ z e x + Q ( x , y )

Comparando as equações, vemos que:

M y , z = y e y

P x , z = cos ⁡ z e x

Q x , y = y e y

O que nos dá

f x = cos ⁡ z e x + y e y + k

Passo 3

Letra c)

O problema nos pede a integral de linha

∫ C   F . d r

E, pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:

∫ C   F . d r = f B - f ( A )

Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva C é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.

Vamos, então, descobrir esses pontos.

Fazendo t = 0 na parametrização da curva, temos:

A = 0,1 , 0

Fazendo t = π :

B = ( 1 , - 1,0 )

Ou seja, temos:

∫ C   F .   d r = f 1 , - 1,0 - f 0 , 1 , 0 = e - e - 1 + k - 1 + e + k = - e - 1 - 1

Resposta

  1. O campo é conservativo.
  2. f x = cos ⁡ z e x + y e y + k
  3. - e - 1 - 1

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